《2025年通城学典非常课课通九年级数学上册人教版江苏专版》

9. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过 $ A(1,0) $，$ B(5,0) $，$ C(0,4) $ 三点。
（1）求抛物线对应的解析式及其对称轴；
（2）若 $ P $ 是抛物线对称轴上的一点，求使 $ PA + PC $ 的值最小时点 $ P $ 的坐标；
（3）设 $ E $ 是抛物线第四象限上一动点，四边形 $ OEBF $ 是以 $ OB $ 为对角线且面积为 $ 12 $ 的平行四边形，求点 $ E $ 的坐标。

答案： 9.
(1)设抛物线对应的解析式为$y = a(x - 1)(x - 5)(a\neq0)$，将$C(0,4)$代入，得$5a = 4$，解得$a = \frac{4}{5}$.$\therefore$抛物线对应的解析式为$y = \frac{4}{5}(x^2 - 6x + 5) = \frac{4}{5}x^2 - \frac{24}{5}x + 4$，对称轴是直线$x = 3$
(2)连接$BC$，交对称轴于点$P$，此时$PA + PC$的值最小.设直线$BC$对应的解析式为$y = kx + b$.将点$B,C$的坐标代入，得$\begin{cases}5k + b = 0,\\b = 4\end{cases}$，解得$k = -\frac{4}{5}$，$b = 4$.$\therefore$直线$BC$对应的解析式为$y = -\frac{4}{5}x + 4$.当$x = 3$时，$y = \frac{8}{5}$，$\therefore P(3,\frac{8}{5})$
(3)$\because$四边形$OEBF$是以$OB$为对角线且面积为$12$的平行四边形，$\therefore S_{四边形OEBF} = \frac{1}{2}× OB×|y_E|×2 = 5|y_E| = 12$.$\because$点$E$在第四象限，$\therefore y_E = -\frac{12}{5}$.令$\frac{4}{5}(x^2 - 6x + 5) = -\frac{12}{5}$，解得$x = 2$或$x = 4$.$\therefore$点$E$的坐标是$(2,-\frac{12}{5})$或$(4,-\frac{12}{5})$

10. 如图，抛物线 $ y = x^2 + 2x - 3 $ 与 $ x $ 轴交于 $ A $，$ B $ 两点，与 $ y $ 轴交于点 $ C $，$ P $ 是抛物线对称轴上任意一点。若 $ D $，$ E $，$ F $ 分别是 $ BC $，$ BP $，$ PC $ 的中点，连接 $ DE $，$ DF $，则 $ DE + DF $ 的最小值为$\frac{3}{2}\sqrt{2}$_。

答案： 10.$\frac{3}{2}\sqrt{2}$

11. 如图，抛物线 $ y = -\frac{2}{9}x^2 + bx + c $ 与 $ x $ 轴交于 $ A(-1,0) $，$ B(5,0) $ 两点，顶点为 $ C $，其对称轴交 $ x $ 轴于点 $ D $，$ P $ 为抛物线的对称轴 $ CD $ 上的一动点（点 $ P $ 不与点 $ C $，$ D $ 重合）。过点 $ C $ 作直线 $ PB $ 的垂线，交 $ PB $ 于点 $ E $，交 $ x $ 轴于点 $ F $（提示：互相垂直的两条直线对应的解析式中的 $ k $ 之积为 $ -1 $）。
（1）求抛物线对应的解析式；
（2）当 $ \triangle PCF $ 的面积为 $ 5 $ 时，求点 $ P $ 的坐标；
（3）当 $ \triangle PCF $ 为等腰三角形时，请直接写出点 $ P $ 的坐标。

答案： 11.
(1)由题意，得抛物线对应的解析式为$y = -\frac{2}{9}(x + 1)(x - 5) = -\frac{2}{9}x^2 + \frac{8}{9}x + \frac{10}{9}$
(2)$\because y = -\frac{2}{9}x^2 + \frac{8}{9}x + \frac{10}{9} = -\frac{2}{9}(x - 2)^2 + 2$，$\therefore$抛物线的对称轴是直线$x = 2$，点$C$的坐标为$(2,2)$.设$P(2,m)$，由点$P,B$的坐标，易得直线$PB$对应的解析式为$y = -\frac{1}{3}mx + \frac{5m}{3}$.
$\because CE\perp PE$，$\therefore$直线$CE$对应的解析式中的$k$的值为$\frac{3}{m}$.由点$C$的坐标，可得直线$CE$对应的解析式为$y = \frac{3}{m}x + (2 - \frac{6}{m})$.令$y = 0$，得$x = 2 - \frac{2m}{3}$，$\therefore$点$F$的坐标为$(2 - \frac{2m}{3},0)$.$\therefore S_{\triangle PCF} = \frac{1}{2}PC· DF = \frac{1}{2}|2 - m|·|2 - \frac{2m}{3} - 2| = 5$，解得$m = 5$或$m = -3$.$\therefore$点$P$的坐标为$(2,-3)$或$(2,5)$
(3)由
(2)，得$CP^2 = (2 - m)^2$，$CF^2 = (\frac{2m}{3})^2 + 4$，$PF^2 = (\frac{2m}{3})^2 + m^2$.当$\triangle PCF$为等腰三角形时，分三种情况：①当$CP = CF$时，则$(2 - m)^2 = (\frac{2m}{3})^2 + 4$，解得$m = 0$(不合题意，舍去)或$m = \frac{36}{5}$.②当$CP = PF$时，则$(2 - m)^2 = (\frac{2m}{3})^2 + m^2$，解得$m = \frac{-9\pm3\sqrt{13}}{2}$.③当$CF = PF$时，则$(\frac{2m}{3})^2 + 4 = (\frac{2m}{3})^2 + m^2$，解得$m = 2$(不合题意，舍去)或$m = -2$.综上所述，点$P$的坐标为$(2,\frac{36}{5})$或$(2,\frac{-9 - 3\sqrt{13}}{2})$或$(2,\frac{-9 + 3\sqrt{13}}{2})$或$(2,-2)$