《2025年1加1轻巧夺冠完美期末八年级数学上册北师大版辽宁专版》

22.（12 分）
在长方形$ABCD$中，$AB = 2$，$BC ＞ AB$，$P$，$Q$分别是边$AD$，$BC$上的点，将四边形$APQB$沿$PQ$翻折，$A$，$B$两点的对应点分别为$F$，$E$.
（1）如图 1，当点$E$落在$AD$上，求证：$PE = QE$.
（2）如图 2，若$BC = 3$，点$E$与点$D$重合，求$AP$的长.
（3）如图 3，若$\frac{AP}{BQ}=\frac{3}{4}$，点$E$恰好落在$CD$的中点处，求$BC$的长.

答案：
22.
(1)证明：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴∠EPQ = ∠BQP，∠PQE = ∠BQP，
∴∠EPQ = ∠PQE，
∴PE = QE。
(2)解：设$AP = x$，则$PD = 3 - x$，
∴$PD = DQ = BQ = 3 - x$，
∴$CQ = x$。
∵$QC^{2}+DC^{2}=DQ^{2}$，
∴$x^{2}+2^{2}=(3 - x)^{2}$，解得$x = \frac{5}{6}$，即AP的长为$\frac{5}{6}$。
(3)解：延长QE交AD的延长线于点M。
∵AD//BC，
∴∠M = ∠CQE，∠EDM = ∠C。
∵E为CD的中点，
∴$CE = DE$，
∴△CQE≌△DME (AAS)，
∴$QC = DM$，$QE = EM$。
设$AP = 3y$，$BQ = 4y$，由折叠的性质知$QE = 4y$，
∴$EM = 4y$，
∴$QM = 8y$。
由
(1)知$PM = QM = 8y$，
∴$AM = 11y$。
∵$AD = BC$，
∴$4y + CQ = 11y - CQ$，
∴$CQ = \frac{7}{2}y$。
∵$CQ^{2}+CE^{2}=QE^{2}$，
∴$(\frac{7}{2}y)^{2}+1^{2}=(4y)^{2}$，解得$y = \frac{2}{15}\sqrt{15}$。
∴$BC = 4y + \frac{7}{2}y = \frac{15}{2}y = \sqrt{15}$。