《2025年1加1轻巧夺冠完美期末八年级数学上册北师大版辽宁专版》

22. (12分)(丹东期末,有改编)
如图1,在$\triangle ABC$中,$AB=10$,$AC=6$,$D$是$BC$的中点,求边$BC$上的中线$AD$的取值范围.
(1)我们可以用如下的方法解决问题:延长$AD$到点$E$,使$DE=AD$,连接$BE$,可以判定$\triangle ADC\cong$△EDB,所以$EB=$AC,在$\triangle ABE$中,可求出$AE$的取值范围是4＜AE＜16,则中线$AD$的取值范围是2＜AD＜8.
(2)如图2,$Rt\triangle ADE$的直角顶点$D$与$Rt\triangle ABC$直角边$BC$的中点重合,连接$CE$.若$\angle ECB=90^{\circ}$,$CE=11$,$AB=7$,求$AE$的长.
(3)将一副三角板按如图3所示的方式摆放,其中$Rt\triangle DEF$的直角顶点$D$与$BC$的中点重合,边$DE$和边$AB$交于点$G$,边$DF$和边$AC$交于点$H$,连接$GH$.请判断$BG$,$CH$和$GH$的等量关系,并说明理由.

答案：
22.解:
(1)△EDB　AC　4＜AE＜16　2＜AD＜8 [解析]在△ADC和△EDB中，$\begin{cases}BD=CD,\\∠ADC=∠EDB,\\DE=AD,\end{cases}$
∴△ADC≌△EDB(SAS)，
∴EB=AC，在△ABE中，AB−BE＜AE＜AB+BE，即4＜AE＜16，
∴2＜AD＜8。
(2)延长AD至点F，使DF=AD，连接CF，如答图1，
∵D为BC的中点，
∴BD=CD；在△ABD和△FCD中，$\begin{cases}AD=FD,\\∠ADB=∠FDC,\\BD=CD,\end{cases}$
∴△ABD≌△FCD(SAS)，
∴FC=AB=7，
∴∠FCD=∠ABD=90°，
∵∠ECB=90°，
∴∠ECB + ∠ABD=180°，
∴F，C，E三点共线，
∵CE=11，
∴EF=CE + FC=18，
∵∠ADE=90°，AD =DF，
∴DE垂直平分AF，
∴AE=EF=18。 　　　
(3)BG²+CH²=GH²，理由如下:延长GD至点M，使DM=DG，连接CM，HM，如答图3，
∵D为BC的中点，
∴BD=CD，在△GDB和△MDC中，$\begin{cases}∠GDB=∠MDC,\\BD=CD,\\GD=DM,\end{cases}$
∴△GDB≌△MDC(SAS)，
∴BG=CM，∠B=∠DCM，
∵∠A=90°，
∴∠B + ∠ACB=90°，
∴∠DCM + ∠ACB=90°，即∠HCM=90°，在Rt△CHM中，由勾股定理得CH²+CM²=HM²，
∴BG²+CH²=HM²，
∵∠GDH=90°，GD=MD，
∴DH垂直平分GM，
∴GH=HM，
∴BG²+CH²=GH²。