《2025年1加1轻巧夺冠完美期末八年级数学上册北师大版辽宁专版》

15.(沈阳于洪期末)在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ABC = 90^{\circ}$，$AB = 2$，$BC = 1$，$D$为边$AB$上一动点，连接$CD$，将$\triangle ACD$沿直线$CD$翻折，得到$\triangle A'CD$，点$A$的对应点为$A'$.当$A'B = \sqrt{2}$时，$AA'$的长为$\sqrt{2}$或$\sqrt{10}$.

答案：
15.$\sqrt{2}$或$\sqrt{10}$ [解析]分两种情况：
①当CA'在∠ACB的内部时，如答图1，过点A'作A'E⊥CB交CB的延长线于点E，过点A作AF⊥EA'交EA'的延长线于点F。
∵∠ABC=90°，AB=2，BC=1，
∴∠ABE=90°，由勾股定理得$AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}=2^{2}+1^{2}=5$，
∴四边形ABEF是矩形，
∴EF=AB=2，AF=BE，设BE=x。
在Rt△A'BE中，由勾股定理得$A'E^{2}=A'B^{2}-BE^{2}=(\sqrt{2})^{2}-x^{2}=2-x^{2}$。
在Rt△A'CE中，由勾股定理得$A'E^{2}=A'C^{2}-CE^{2}=AC^{2}-CE^{2}=5-(x+1)^{2}$。
∴$2-x^{2}=5-(x+1)^{2}$，解得$x=1$，
∴$BE=1$，$A'E=\sqrt{2-1^{2}}=1$，
∴$A'F=EF-A'E=2-1=1$，$AF=BE=1$。
在Rt△A'AF中，由勾股定理得$AA'=\sqrt{A'F^{2}+AF^{2}}=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$。
②当CA'在∠ACB的外部时，如答图2，过点A'作A'E⊥CB交CB的延长线于点E，过点A作AF⊥EA'交EA'的延长线于点F，同①可求出$AA'=\sqrt{A'F^{2}+AF^{2}}=\sqrt{3^{2}+1^{2}}=\sqrt{10}$。
综上所述，AA'的长为$\sqrt{2}$或$\sqrt{10}$。

16.（每小题 5 分，共 10 分）（沈阳法库期末）
（1）计算：$(\sqrt{24} - \sqrt{\frac{1}{6}})÷\sqrt{3}$；
（2）解方程组：$\begin{cases}2x - 5y = 7,\\2x + 3y = -1.\end{cases}$

答案： 16.解：
(1)原式=$\sqrt{24÷3}-\sqrt{\frac{1}{6}×\frac{1}{3}}=\sqrt{8}-\sqrt{\frac{1}{18}}$
=$2\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{6}=\frac{11\sqrt{2}}{6}$。
(2)$\begin{cases}2x - 5y = 7①\\2x + 3y = -1②\end{cases}$
② - ①，得$8y = -8$，解得$y = -1$。
把$y = -1$代入①，得$2x + 5 = 7$，解得$x = 1$。
所以原方程组的解为$\begin{cases}x = 1\\y = -1\end{cases}$。

17.（8 分）（沈阳浑南期末）
周末，小亮帮奶奶去超市买菜，回家后与奶奶有一段对话：
小亮：牛肉和鸡蛋一共 6 斤，单价分别是 32 元/斤和 5.5 元/斤，您给了我 100 元，现找回 19 元.
奶奶：你肯定搞错了.
小亮：哦，我把自己口袋里的 5 元一起当作找回的钱款了.
奶奶：这就对了.
根据上面的信息，请你列方程组求小亮买了牛肉和鸡蛋各多少斤.

答案： 17.解：设小亮买了牛肉x斤，鸡蛋y斤，根据题意得$\begin{cases}x + y = 6\\32x + 5.5y = 100 - 19 + 5\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 2\\y = 4\end{cases}$。
答：小亮买了牛肉2斤，鸡蛋4斤。