《2025年1加1轻巧夺冠完美期末八年级数学上册北师大版辽宁专版》

22.(12分)(沈阳和平期末)
【问题背景】
数学课上，我们以等腰直角三角形为背景，利用旋转的性质研究线段和角的关系.
【问题初探】
(1)如图1，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=CB，点D与直角顶点B重合，射线DP交边AC于点E，点F在射线DQ上，且满足∠PDQ=90°，DE=DF，连接AF.探究线段AF与CE的关系，并说明理由.
【问题深探】
(2)如图2，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=CB，D为斜边AC的中点，射线DP交边BC于点E，射线DQ交边AB于点F，且满足∠PDQ=90°.
①探究线段DE与DF的数量关系，并说明理由.
②探究线段AF，CE，DE之间的数量关系.
【问题拓展】
(3)如图3，在平面直角坐标系xOy中，△ABO为等腰直角三角形，AO=OB=6，D为斜边AB的中点，x轴上有一点E(2，0)，动直线l绕点D旋转，与x轴相交于点P，且满足∠DEA-∠PDA=45°，求直线l的表达式.

答案：
22.解:
(1)AF=CE且AF⊥CE，理由如下：
∵∠ABE +∠CBE=90°=∠ABE+∠ABF，
∴∠ABF=∠CBE，
∵AB=CB，DE=DF，
∴△ABF≌△CBE(SAS)，
∴∠FAB=∠C=45°=∠BAC，AF=CE，则∠FAE=∠BAC+∠BAF=45°+45°=90°，即AF⊥CE。
(2)①DE=DF，理由如下：连接EF，BD，如答图，则BD=CD，∠DBF=∠C=45°，
∵∠FDB+∠BDE=90°=∠BDE+∠EDC，
∴∠FDB=∠EDC，
∴△FDB≌△EDC(AAS)，则DE=DF。
②由①知CE=BF，则EF=$\sqrt{2}$DE，∠DFB=∠DEC，
∴∠AFD=∠BED，又
∵∠A=∠DBE =45°，AD=BD，
∴△AFD≌△BED，
∴AF=BE，在Rt△FEB中，EF²=BF²+BE²=CE²+AF²，即2DE²=CE²+AF²。

(3)
∵D为斜边AB的中点，则点D的坐标为(3,3)，
∵∠DPE=∠BAP+∠PDA=45°+∠PDA，∠DEA−∠PDA=45°，
∴∠DEP=∠DPE，则ED=DP，设点P的坐标为(x，0)，则(3−2)²+3²=(3−x)²+3²，解得x=4或2(舍去)，即点P的坐标为(4,0)，由点D，P的坐标得直线DP的表达式为y=−3x+12。