《2025年1加1轻巧夺冠完美期末八年级数学上册北师大版辽宁专版》

23. (13 分)(沈阳沈河期末)
如图, 在平面直角坐标系 $xOy$ 中, 直线 $l:y = \frac{4}{3}x - 8$ 与 $x$ 轴、$y$ 轴交于 $A,B$ 两点. 点 $P(m,n)$ 先关于坐标轴对称, 再向下平移 1 个单位长度后得到点 $Q$, 称 $Q$ 为点 $P$ 的对称平移点. 当 $m＞0$ 时, 先关于 $x$ 轴对称再向下平移 1 个单位长度得到点 $Q$; 当 $m＜0$ 时, 先关于 $y$ 轴对称再向下平移 1 个单位长度得到点 $Q$.
(1)求点 $(1,2)$ 的对称平移点的坐标.
(2)若点 $(a,4)$ 的平移对称点在直线 $l$ 上, 求 $a$ 的值.
(3)点 $E(m,n)$ 在直线 $y = x + 1$ 上, 点 $E$ 的对称平移点为 $F$.
①当 $m＞0$ 时, $\triangle FAB$ 面积等于 27, 求 $m$ 的值;
②当 $m＜0$ 时, 若点 $F$ 到直线 $AB$ 与 $x$ 轴距离相等, 请直

接

写

出

点 $E$ 的坐标.

答案：
23.解:
(1)
∵$m = 1 ＞ 0$，
∴点$(1,2)$先关于$x$轴对称的点的坐标为$(1, - 2)$，向下平移$1$个单位长度，
∴点$Q$的坐标为$(1, - 3)$。
(2)分两种情况:①当$a ＞ 0$时，点$(a,4)$平移对称点的坐标为$(a, - 5)$，
∵平移对称点在直线$l$上，
∴$- 5 = \frac{4}{3}a - 8$，解得$a = \frac{9}{4}$；②当$a ＜ 0$时，点$(a,4)$的平移对称点的坐标为$( - a,3)$，
∵平移对称点在直线$l$上，
∴$3 = - \frac{4}{3}a - 8$，解得$a = - \frac{33}{4}$。
综上所述，$a$的值为$\frac{9}{4}$或$- \frac{33}{4}$。
(3)①直线$l$：$y = \frac{4}{3}x - 8$与$x$轴、$y$轴交于$A$，$B$两点，令$x = 0$，得$y = - 8$，
∴点$B$的坐标为$(0, - 8)$，令$y = 0$，得$x = 6$，
∴点$A$的坐标为$(6,0)$，
∵点$E$在直线$y = x + 1$上，
∴点$E$的坐标为$(m,m + 1)$，
∵$m ＞ 0$，如答图1，
∴点$F$的坐标为$(m, - m - 2)$，设$EF$与$AB$交于点$G$，则点$G$的坐标为$(m,\frac{4}{3}m - 8)$，
∴$FG = | \frac{4}{3}m - 8 + m + 2 | = | \frac{7}{3}m - 6 |$，
∴$S_{\triangle FAB} = \frac{1}{2}FG · | x_{A} - x_{B} | = 3 × | \frac{7}{3}m - 6 | = | 7m - 18 | = 27$，解得$m = \frac{45}{7}$(负值舍去)。
②
∵$m ＜ 0$，
∴点$F$的坐标为$( - m,m)$，
∴点$F$在直线$y = x$上，
∵点$F$到$x$轴和到直线$AB$的距离相等，
∴点$F$是直线$AB$与$x$轴的平分线和$y = - x$的交点，由①可知点$A$的坐标为$(6,0)$，点$B$的坐标为$(0, - 8)$，
∴$OA = 6$，$OB = 8$，
∴$AB = \sqrt{OA^{2} + OB^{2}} = 10$，分两种情况：Ⅰ. 如答图2，点$F$在$\angle OAB$的平分线上时，设$\angle OAB$的平分线与$y$轴交于点$H$，过点$H$作$HK \perp AB$于点$K$，设$OH = n$，则$HK = OH = n$，$BH = 8 - n$，又
∵$AH = AH$，
∴$Rt\triangle AOH \cong Rt\triangle AKH(HL)$，
∴$AK = AO = 6$，$BK = 4$，在$Rt\triangle BHK$中，$HK^{2} + BK^{2} = BH^{2}$，即$n^{2} + 16 = (8 - n)^{2}$，解得$n = 3$，
∴点$H$的坐标为$(0, - 3)$，设直线$AH$的表达式为$y = kx + b$，则$\begin{cases} b = - 3, \\ 6k + b = 0, \end{cases}$解得$\begin{cases} k = \frac{1}{2}, \\ b = - 3, \end{cases}$
∴直线$AH$的表达式为$y = \frac{1}{2}x - 3$，令$\frac{1}{2}x - 3 = - x$，解得$x = 2$，即点$F$的坐标为$(2, - 2)$，
∴$- m = 2$，解得$m = - 2$，
∴$m + 1 = - 1$，
∴点$E$的坐标为$( - 2, - 1)$；Ⅱ. 如答图3，点$F$在$\angle xAB$的平分线上时，此时$AF \perp AH$，
∴$k_{AF} = - 2$，
∴直线$AF$的表达式为$y = - 2x + 12$，令$- 2x + 12 = - x$，解得$x = 12$，即点$F$的坐标为$(12, - 12)$，
∴$- m = 12$，即$m = - 12$，
∴$m + 1 = - 11$，
∴点$E$的坐标为$( - 12, - 11)$。



综上，点$E$的坐标为$( - 2, - 1)$或$( - 12, - 11)$。