《2025年1加1轻巧夺冠完美期末八年级数学上册北师大版辽宁专版》

22. (12 分)(沈阳于洪期末)
在 $\triangle A B C$ 中, $\angle B A C=90^{\circ}, A B=A C, D$ 是边 $B C$ 上一点, 连接 $A D$, 过点 $B$ 作 $A D$ 的垂线, 垂足为 $E$.
(1)如图 1, 求证: $\angle A B E=\angle C A D$.
(2)如图 2, 以 $B E$ 为直角边作等腰直角三角形 $B E F(B, E, F$ 三点按顺时针排列), $\angle B E F=90^{\circ}$, 连接 $B F$, 过点 $C$ 作 $C G / / B F$ 交直线 $A D$ 于点 $G$.
①猜想 $C G$ 与 $A E$ 的数量关系并证明.
②若 $A B=A C=8, A D=2 \sqrt{10}$, 求 $C G$ 的长.
第 22 题图

答案： 22.
(1)证明:
∵∠BAC = 90°，
∴∠BAE + ∠CAD = 90°，
∵BE⊥AD，
∴∠ADB = 90°，
∴∠ABE + ∠BAE = 90°，
∴∠ABE = ∠CAD.
(2)①解:CG = $\sqrt{2}AE$，证明如下:过点C作CH⊥AF于点H，如答图1，
∴∠AHC = ∠BEA = 90°，由
(1)知∠ABE = ∠CAH，又
∵AB = AC，
∴△ABE≌△CAH(AAS)，
∴AE = CH，在等腰直角三角形BEF中，
∵∠BEF = 90°，
∴∠F = ∠FBE = 45°，
∵CG//BF，
∴∠CGF = ∠F = 45°，
∴△CHG是等腰直角三角形，
∴CG = $\sqrt{2}CH$，
∴CG = $\sqrt{2}AE$.
②解:
∵∠BAC = 90°，AB = AC = 8，
∴BC = $\sqrt{2}AB = 8\sqrt{2}$.分两种情况:I.当点E在BC的上方时，如答图2，过点A作AM⊥BC于点M，
∴AM = BM = CM = $\frac{1}{2}BC = 4\sqrt{2}$，
∵AD = 2$\sqrt{10}$，
∴DM = $\sqrt{AD^2 - AM^2}=2\sqrt{2}$，
∴BD = BM + DM = 6$\sqrt{2}$，
∴∠AHC = ∠BEA = 90°，
∴BE = $\frac{BD·AM}{AD}=\frac{6\sqrt{2}×4\sqrt{2}}{2\sqrt{10}}=\frac{12\sqrt{10}}{5}$，
∴AE = $\sqrt{AB^2 - BE^2}=\frac{4\sqrt{10}}{5}$，
∴CG = $\sqrt{2}AE = \frac{8\sqrt{5}}{5}$；II.当点E在BC的下方时，如答图3，过点C作CH⊥AF于点H，过点A作AM⊥BC于点M，
∴AM = BM = CM = $\frac{1}{2}BC = 4\sqrt{2}$，
∵AD = 2$\sqrt{10}$，
∴DM = $\sqrt{AD^2 - AM^2}=2\sqrt{2}$，
∴CD = CM + DM = 6$\sqrt{2}$，
∴CH = $\frac{CD·AM}{AD}=\frac{6\sqrt{2}×4\sqrt{2}}{2\sqrt{10}}=\frac{12\sqrt{10}}{5}$，
∴CG = $\sqrt{2}CH = \frac{24\sqrt{5}}{5}$.
综上所述，CG的长为$\frac{8\sqrt{5}}{5}$或$\frac{24\sqrt{5}}{5}$.