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2025年1加1轻巧夺冠完美期末八年级数学上册北师大版辽宁专版
注：目前有些书本章节名称可能整理的还不是很完善，但都是按照顺序排列的，请同学们按照顺序仔细查找。练习册 2025年1加1轻巧夺冠完美期末八年级数学上册北师大版辽宁专版 答案主要是用来给同学们做完题方便对答案用的，请勿直接抄袭。
14. (辽阳期末)有一个圆柱体礼盒, 高 24 cm, 底面周长为 16 cm. 现准备在礼盒表面粘贴彩带作为装饰. 若彩带一端粘在 $A$ 处, 另一端绕礼盒侧面 2 周后粘贴在 $C$ 处 ($B$ 为 $AC$ 的中点), 则彩带的最短长度为
40
cm.
答案：
14.40 [解析]侧面展开后图形如答图，
∵高24cm，
∴AD = BC = 12cm，
∵底面周长为16cm，
∴BD = 16cm，在$Rt\triangle ABD$中，由勾股定理知$AB = \sqrt{AD^{2} + BD^{2}} = \sqrt{12^{2} + 16^{2}} = 20(cm)$，
∴彩带的最短长度为40cm。
14.40 [解析]侧面展开后图形如答图，
∵高24cm，
∴AD = BC = 12cm，
∵底面周长为16cm，
∴BD = 16cm，在$Rt\triangle ABD$中，由勾股定理知$AB = \sqrt{AD^{2} + BD^{2}} = \sqrt{12^{2} + 16^{2}} = 20(cm)$，
∴彩带的最短长度为40cm。
15. 如图, 在 $\triangle ABC$ 中, $\angle C = 90^{\circ},BC = 1,AC = 2\sqrt{2},P$ 是直线 $AB$ 上一点, 当 $\angle BPC = \frac{1}{2}\angle ABC$ 时, $\triangle BPC$ 的面积为
$\frac{\sqrt{2}}{3}$或$\frac{5\sqrt{2}}{9}$
.
答案：
15.$\frac{\sqrt{2}}{3}$或$\frac{5\sqrt{2}}{9}$ [解析]
∵$\angle C = 90^{\circ}$，$BC = 1$，$AC = 2\sqrt{2}$，
∴$AB = \sqrt{AC^{2} + BC^{2}} = 3$。分两种情况：①当点$P$在$AB$的延长线上时，过点$C$作$CD \perp AB$于点$D$，如答图1，
∵$\angle BPC = \frac{1}{2} \angle ABC$，$\angle BPC + \angle BCP = \angle ABC$，
∴$\angle BPC = \angle BCP$，
∴$BC = BP = 1$，
∵$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}AB · CD = \frac{1}{2}BC · AC$，即$\frac{1}{2} × 3 × CD = \frac{1}{2} × 1 × 2\sqrt{2}$，解得$CD = \frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴$S_{\triangle BPC} = \frac{1}{2}PB · CD = \frac{\sqrt{2}}{3}$；②当点$P$在线段$AB$上时，过点$C$作$CD \perp AB$于点$D$，延长$AB$到$Q$，使$BQ = BC = 1$，如答图2，
∵$BQ = BC$，
∴$\angle BQC = \angle BCQ$，
∴$\angle BQC = \frac{1}{2} \angle ABC$，
∴$\angle BPC = \frac{1}{2} \angle ABC$，
∴$\angle BPC = \angle BQC$，
∴$CP = CQ$，
∵$CD \perp AB$，
∴$PD = DQ$，由①知$CD = \frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴$BD = \sqrt{BC^{2} - CD^{2}} = \frac{1}{3}$，
∴$PB = PD + BD = DQ + BD = BQ + 2BD = \frac{5}{3}$，
∴$S_{\triangle BPC} = \frac{1}{2}PB · CD = \frac{1}{2} × \frac{5}{3} × \frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{5\sqrt{2}}{9}$。
综上所述，$\triangle BPC$的面积为$\frac{\sqrt{2}}{3}$或$\frac{5\sqrt{2}}{9}$。
15.$\frac{\sqrt{2}}{3}$或$\frac{5\sqrt{2}}{9}$ [解析]
∵$\angle C = 90^{\circ}$，$BC = 1$，$AC = 2\sqrt{2}$，
∴$AB = \sqrt{AC^{2} + BC^{2}} = 3$。分两种情况：①当点$P$在$AB$的延长线上时，过点$C$作$CD \perp AB$于点$D$，如答图1，
∵$\angle BPC = \frac{1}{2} \angle ABC$，$\angle BPC + \angle BCP = \angle ABC$，
∴$\angle BPC = \angle BCP$，
∴$BC = BP = 1$，
∵$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}AB · CD = \frac{1}{2}BC · AC$，即$\frac{1}{2} × 3 × CD = \frac{1}{2} × 1 × 2\sqrt{2}$，解得$CD = \frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴$S_{\triangle BPC} = \frac{1}{2}PB · CD = \frac{\sqrt{2}}{3}$；②当点$P$在线段$AB$上时，过点$C$作$CD \perp AB$于点$D$，延长$AB$到$Q$，使$BQ = BC = 1$，如答图2，
∵$BQ = BC$，
∴$\angle BQC = \angle BCQ$，
∴$\angle BQC = \frac{1}{2} \angle ABC$，
∴$\angle BPC = \frac{1}{2} \angle ABC$，
∴$\angle BPC = \angle BQC$，
∴$CP = CQ$，
∵$CD \perp AB$，
∴$PD = DQ$，由①知$CD = \frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴$BD = \sqrt{BC^{2} - CD^{2}} = \frac{1}{3}$，
∴$PB = PD + BD = DQ + BD = BQ + 2BD = \frac{5}{3}$，
∴$S_{\triangle BPC} = \frac{1}{2}PB · CD = \frac{1}{2} × \frac{5}{3} × \frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{5\sqrt{2}}{9}$。
综上所述，$\triangle BPC$的面积为$\frac{\sqrt{2}}{3}$或$\frac{5\sqrt{2}}{9}$。
16. (每小题 5 分, 共 10 分)(辽阳期末)
(1)计算: $\sqrt[3]{-27}-(2 + \sqrt{3})^2 + 2×\sqrt{\frac{27}{4}}$;
(2)解方程组: $\begin{cases}4x - y = 30,\\x - 2y = -10.\end{cases}$
(1)计算: $\sqrt[3]{-27}-(2 + \sqrt{3})^2 + 2×\sqrt{\frac{27}{4}}$;
(2)解方程组: $\begin{cases}4x - y = 30,\\x - 2y = -10.\end{cases}$
答案：
16.解:
(1)原式$ = - 3 - (4 + 3 + 4\sqrt{3}) + 3\sqrt{3} = - 3 - 7 - 4\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = - 10 - \sqrt{3}$。
(2)$\begin{cases}4x - y = 30 &①\\x - 2y = - 10&② \end{cases}$，$① × 2 - ②$，得$7x = 70$，解得$x = 10$，把$x = 10$代入$②$，得$10 - 2y = - 10$，解得$y = 10$，故此方程组的解为$\begin{cases} x = 10, \\ y = 10. \end{cases}$
(1)原式$ = - 3 - (4 + 3 + 4\sqrt{3}) + 3\sqrt{3} = - 3 - 7 - 4\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = - 10 - \sqrt{3}$。
(2)$\begin{cases}4x - y = 30 &①\\x - 2y = - 10&② \end{cases}$，$① × 2 - ②$，得$7x = 70$，解得$x = 10$，把$x = 10$代入$②$，得$10 - 2y = - 10$，解得$y = 10$，故此方程组的解为$\begin{cases} x = 10, \\ y = 10. \end{cases}$
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