《2026年优选课堂必刷题高一数学全一册人教版》

11. (2025·辽宁沈阳·质量检测)已知集合$A=\{x\mid a + 1＜x＜2a - 3\}$，$B=\{x\mid x\leq - 2$，或$x\geq7\}$，则$A\cap B=\varnothing$的必要不充分条件可能是( )

A.$a＜7$
B.$a＜6$
C.$a\leq5$
D.$a＜4$

答案： 11.AB 若$A \cap B=\varnothing$,则$a+1 \geq 2a-3$或$\begin{cases}a+1 \geq -2 \\ 2a-3 \leq 7\end{cases}$,解得$a \leq 4$或$4＜a \leq 5$,所以,$A \cap B=\varnothing$的充要条件为$a \leq 5$,所以$A \cap B=\varnothing$的必要不充分条件可能为$a＜7$,$a＜6$.故选:AB

12. (2025·四川省绵阳江油中学质量检测)若命题“$\exists x\in\mathbf{R}$，$x^{2}+mx + 2m - 3＜0$”为假命题，则实数$m$的取值范围是______。

答案： 12.解析：由命题$“\exists x \in \mathbf{R},x^2+mx+2m-3＜0”$的否定为$“\forall x \in \mathbf{R},x^2+mx+2m-3 \geq 0”$,因为命题$“\exists x \in \mathbf{R},x^2+mx+2m-3＜0”$为假命题,则$“\forall x \in \mathbf{R},x^2+mx+2m-3 \geq 0”$为真命题,所以$\Delta=m^2-4(2m-3) \leq 0$,解得$2 \leq m \leq 6$,则实数$m$的取值范围是$[2,6]$.故答案为:$[2,6]$.

13. (2025·全国·专题练习)若不等式$\vert x\vert＜a$的一个充分条件为$-2＜x＜0$，则实数$a$的取值范围是______。

答案： 13.解析：由不等式$|x|＜a$,当$a \leq 0$时,不等式$|x|＜a$的解集为空集,显然不成立;当$a＞0$时,不等式$|x|＜a$,可得$-a＜x＜a$,要使得不等式$|x|＜a$的一个充分条件为$-2＜x＜0$,则满足$\{x|-2＜x＜0\} \subseteq \{x|-a＜x＜a\}$,所以$-2 \geq -a$,即$a \geq 2$,$\therefore$实数$a$的取值范围是$a \geq 2$.故答案为:$a \geq 2$.

14. (2025·陕西西安·质量检测)已知全集为$\mathbf{R}$，集合$A=\{x\mid x^{2}-8x + 12\leq0\}$，$B=\{x\mid 3x - 7\geq8 - 2x\}$。
(1)求$A\cap B$；
(2)若$C=\{x\mid a - 4\leq x\leq a + 4\}$，且“$x\in A\cap B$”是“$x\in C$”的充分不必要条件，求实数$a$的取值范围。

答案： 14.解：
(1)$x^2-8x+12 \leq 0$解得$2 \leq x \leq 6$所以$A=[2,6]$,由$3x-7 \geq 8-2x$解得$x \geq 3$,所以$B=[3,+\infty)$,所以$A \cap B=[3,6]$
(2)因为$“x \in A \cap B”$是$“x \in C”$的充分不必要条件,所以$(A \cap B) \subseteq C$且$A \cap B \neq C$,所以$\begin{cases}a-4 \leq 3 \\ a+4 \geq 6\end{cases}$(等号不同时成立),得$2 \leq a \leq 7$,所以实数$a$的取值范围是$2 \leq a \leq 7$.

[例] (2025·安徽师范大学附属中学质量检测)已知集合$A=\left\{x\mid\frac{2x - 5}{x + 1}＜1\right\}$，$B=\{x\mid - k＜x＜2k + 1\}$。
(1)若$A\cap B = A$，求实数$k$的取值范围；
(2)已知命题$p$：$x\in A$，命题$q$：$x\in B$，若$p$是$q$的必要不充分条件，求实数$k$的取值范围。

答案： [解]
(1)由$\frac{2x - 5}{x + 1}＜1$，移项可得$\frac{2x - 5}{x + 1}-1＜0$，通分并合并同类项可得$\frac{x - 6}{x + 1}＜0$，等价于$(x - 6)(x + 1)＜0$，解得$-1＜x＜6$，则$A=\{x\mid - 1＜x＜6\}$；由$A\cap B = A$，则$A\subseteq B$，即$\begin{cases}-k\leq - 1\\6\leq2k + 1\end{cases}$，解得$k\geq\frac{5}{2}$。
(2)$p$是$q$的必要不充分条件等价于$B\subseteq A$。
①当$B=\varnothing$时，$-k\geq2k + 1$，解得$k\leq-\frac{1}{3}$，满足。②当$B\neq\varnothing$时，原问题等价于$\begin{cases}k＞-\frac{1}{3}\\-k\geq - 1\\2k + 1\leq6\end{cases}$（不同时取等号）解得$-\frac{1}{3}＜k\leq1$。综上，实数$k$的取值范围是$k\leq1$。

[例1] (2025·全国·专题练习)已知“$\exists x\in\{x\mid - 2＜x＜2\}$，使等式$x^{2}-2x - m = 0$”是真命题。
(1)求实数$m$的取值范围$M$；
(2)设关于$x$的不等式$(x - a)(x - a - 1)＜0$的解集为$N$，若“$x\in N$”是“$x\in M$”的充分条件，求$a$的取值范围。

答案： [解]
(1)若“$\exists x\in\{x\mid - 2＜x＜2\}$，使等式$x^{2}-2x - m = 0$”是真命题，则$m = x^{2}-2x=(x - 1)^{2}-1$，因为$-2＜x＜2$，所以$m=(x - 1)^{2}-1\in[-1,8)$，所以$M=[-1,8)$，
(2)由不等式$(x - a)(x - a - 1)＜0$可得$a＜x＜a + 1$，所以$N=\{x\mid a＜x＜a + 1\}$，若“$x\in N$”是“$x\in M$”的充分条件，则$N$是$M$的子集，所以$\begin{cases}a\geq - 1\\a + 1\leq8\end{cases}$，解得$-1\leq a\leq7$，经检验$a = - 1$，$a = 7$符合题意。所以$a$的取值范围是$-1\leq a\leq7$。