《2026年优选课堂必刷题高一数学全一册人教版》

1. 若对数 $\log_{(x - 1)}(2x - 3)$ 有意义，则 $x$ 的取值范围是（ ）

A.$(\dfrac{3}{2}, +\infty)$
B.$(1, +\infty)$
C.$(\dfrac{3}{2}, 2)$
D.$(\dfrac{3}{2}, 2) \cup (2, +\infty)$

答案： 1.D 由$\begin{cases}x - 1 ＞ 0, \\x - 1 \neq 1, \\2x - 3 ＞ 0,\end{cases}$得$\begin{cases}x ＞ 1, \\x \neq 2, \\x ＞ \frac{3}{2},\end{cases}$得$x ＞ \frac{3}{2}$且$x \neq 2$。所以$x$的取值范围是$(\frac{3}{2},2) \cup (2, +\infty)$。答案 D。

2. (2025·全国·高一假期作业)下列指数式与对数式互化不正确的一组是（ ）

A.$e^0 = 1$ 与 $\ln 1 = 0$
B.$8^{-\frac{1}{3}} = \dfrac{1}{2}$ 与 $\log_8 \dfrac{1}{2} = -\dfrac{1}{3}$
C.$\log_3 9 = 2$ 与 $9^{\frac{1}{2}} = 3$
D.$\log_7 7 = 1$ 与 $7^1 = 7$

答案： 2.C 根据指数式与对数式互化可知：对于选项 A：$e^0 = 1$等价于$\ln 1 = 0$，故 A 正确；对于选项 B：$8^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{8}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$等价于$\log_8{\frac{1}{2\sqrt{2}}} = -\frac{1}{3}$，故 B 正确；对于选项 C：$\log_3{9} = 2$等价于$3^2 = 9$，故 C错误；对于选项 D：$\log_7{7} = 1$等价于$7^1 = 7$，故 D 正确。故选：C。

3. 有以下四个结论：① $\lg(\lg 10) = 0$；② $\ln(\ln e) = 0$；③若 $10 = \lg x$，则 $x = 10$；④若 $e = \ln x$，则 $x = e^2$。其中正确的是（ ）

A.①③
B.②④
C.①②
D.③④

答案： 3.C $\lg(\lg 10) = \lg 1 = 0$，$\ln(\ln e) = \ln 1 = 0$，故①②正确；若$10 = \lg x$，则$x = 10^{10}$，故③错误；若$e = \ln x$，则$x = e^e$，故④错误.

4. 设 $5^{\log_5(2x - 1)} = 25$，则 $x$ 的值等于（ ）

A.10
B.13
C.100
D.$\pm 100$

答案： 4.B 由$5^{\log_5{(2x - 1)}} = 25$，得$2x - 1 = 25$，所以$x = 13$。故选 B。

5. (2025·河北张家口质量检测)已知 $a ＞ 0$，$b ＞ 0$，则“$a = b = 1$”是“$\lg a + \lg b = 0$”的（ ）

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： 5.A 因为$a ＞ 0$，$b ＞ 0$，由$\lg a + \lg b = \lg(ab) = 0$，可得$ab = 1$，所以，“$a = b = 1$”$\Rightarrow$“$ab = 1$”；但“$a = b = 1$”$\nLeftarrow$“$ab = 1$”。所以，已知$a ＞ 0$，$b ＞ 0$，则“$a = b = 1$”是“$\lg a + \lg b = 0$”的充分不必要条件。故选：A。

6. (2025·山东济宁·嘉祥县第一中学质量检测)若 $2^m = 3^n = k$ 且 $\dfrac{1}{m} + \dfrac{1}{n} = 2$，则 $k =$（ ）

A.$\sqrt{5}$
B.$\sqrt{6}$
C.5
D.6

答案： 6.B 因为$2^m = 3^n = k$且$\frac{1}{m} + \frac{1}{n} = 2$，所以，$k ＞ 0$且$k \neq 1$，且有$m = \log_2{k}$，$n = \log_3{k}$，所以，$\frac{1}{m} = \log_k{2}$，$\frac{1}{n} = \log_k{3}$，所以，$\frac{1}{m} + \frac{1}{n} = \log_k{2} + \log_k{3} = \log_k{6} = 2$，则$k^2 =6$，又因为$k ＞ 0$且$k \neq 1$，解得$k = \sqrt{6}$。故选：B。

7. (2025·全国·专题练习)若 $\log_{14} 2 = a$，$14^b = 5$，用 $a$，$b$ 表示 $\log_{35} 28 =$ 。

答案： 7.解析：因为$14^a = 5$，所以$b = \log_{14}{5}$，$\log_{35}{28} = \frac{\log_{14}{28}}{\log_{14}{35}} = \frac{\log_{14}{14} + \log_{14}{2}}{\log_{14}{14} + \log_{14}{5} - \log_{14}{2}} = \frac{1 + a}{1 + b - a}$。故答案为：$\frac{1 + a}{1 + b - a}$

8. (2025·广东云浮·高一质量检测)若 $3^a = 6$，$b = \log_2 6$，则 $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} =$ 。

答案： 8.解析：因为$3^a = 6$，所以$a = \log_3{6}$，所以$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{\log_3{6}} + \frac{1}{\log_2{6}} = \log_6{3} + \log_6{2} = \log_6{6} = 1$。故答案为：1。

9. 若 $\log_2(\log_x 9) = 1$，则 $x =$（ ）

A.$-3$
B.3
C.$\pm 3$
D.9

答案： 9.B 由题意得，$\log_x{9} = 2$，所以$x^2 = 9$，所以$x = \pm 3$，又因为$x ＞ 0$，所以$x = 3$，故选 B。

10. $\log_2 \sqrt{8} + \lg 25 + \lg 4 + 6^{\log_6 \frac{1}{2}} + 9.8^0 =$（ ）

A.1
B.4
C.5
D.7

答案： 10.C 原式$ = \frac{3}{2}\log_2{2} + \lg(25 × 4) + \frac{1}{2} + 1 = 2 + 2 + 1 = 5$。故选 C。

11. 若 $\lg a$，$\lg b$ 是方程 $2x^2 - 4x + 1 = 0$ 的两个实根，则 $ab$ 的值等于（ ）

A.2
B.$\dfrac{1}{2}$
C.100
D.$\sqrt{10}$

答案： 11.C $\because \lg a$，$\lg b$是方程$2x^2 - 4x + 1 = 0$的两个实根，$\therefore$由根与系数的关系得$\lg a + \lg b = -\frac{-4}{2} = 2$，$\therefore ab = 100$。故选 C。