《2026年优选课堂必刷题高一数学全一册人教版》

11. 不等式$ \log_{\frac{1}{2}}(2x + 3)\lt\log_{\frac{1}{2}}(5x - 6) $的解集为（ ）

A.$ (-\infty,3) $
B.$ (-\frac{3}{2},3) $
C.$ (-\frac{3}{2},\frac{6}{5}) $
D.$ (\frac{6}{5},3) $

答案： 11.D 由题意可得$\begin{cases}2x + 3＞0,\\5x - 6＞0,\\2x + 3＞5x - 6,\end{cases}$解得$\frac{6}{5}＜x＜3$.

12. 函数$ f(x)=\log_2(3^x + 1) $的值域为（ ）

A.$ (0,+\infty) $
B.$ 0,+\infty) $
C.$ (1,+\infty) $
D.$ 1,+\infty) $

答案： 12.A 因为$3^x + 1＞1$，且$f(x)$在$(1,+\infty)$上单调递增，所以$\log_2(3^x + 1)＞\log_21 = 0$，故该函数的值域为$(0,+\infty)$.故选A.

13. 函数$ f(x)=\lg(x^2 - 2x - 3) $的单调递减区间是（ ）

A.$ (-\infty,-1) $
B.$ (-\infty,1) $
C.$ (1,+\infty) $
D.$ (3,+\infty) $

答案： 13.A 令$x^2 - 2x - 3＞0$，所以$(x - 3)(x + 1)＞0$，所以$x＜-1$或$x＞3$，所以$f(x)$的定义域为$(-\infty,-1)\cup(3,+\infty)$.令$u = x^2 - 2x - 3$，函数$f(x)$的单调递减区间即为$u = x^2 - 2x - 3$在$(-\infty,-1)\cup(3,+\infty)$上的递减区间.故选A.

14. (2025·陕西咸阳·高一统考)已知函数$ f(x)=\log_ax(a\gt0 $且$ a\neq1) $在$ [\frac{1}{8},27] $上的最大值为$ 3 $。
(1)求$ a $的值；
(2)假设函数$ g(x)=\log_2(x^2 - 3x + 2a) $的定义域是$ \mathbf{R} $，求关于$ t $的不等式$ \log_a(1 - 2t)\leqslant1 $的解集。

答案： 14.解：
(1)当$0＜a＜1$时，函数$f(x)=\log_a x(a＞0$且$a\neq1)$在$[\frac{1}{8},27]$上单调递减，$\therefore f(x)_{\max}=f(\frac{1}{8})=\log_a\frac{1}{8}=3$，解得$a=\frac{1}{2}$；当$a＞1$时，函数$f(x)=\log_a x(a＞0$且$a\neq1)$在$[\frac{1}{8},27]$上单调递增，$\therefore f(x)_{\max}=f(27)=\log_a 27 = 3$，解得$a = 3$，综上所述，$a = 3$或$a=\frac{1}{2}$.
(2)$\because g(x)=\log_2(x^2 - 3x + 2a)$的定义域是$\mathbf{R}$，$\therefore x^2 - 3x + 2a＞0$恒成立，则方程$x^2 - 3x + 2a = 0$的判别式$\Delta＜0$，即$(-3)^2 - 4×2a＜0$，解得$a＞\frac{9}{8}$，又$a = 3$或$a=\frac{1}{2}$，因此$a = 3$，$\therefore$不等式$\log_a(1 - 2t)\leq1$，即$\log_3(1 - 2t)\leq1$，即$0＜1 - 2t\leq3$，解得$-1\leq t＜\frac{1}{2}$，因此不等式$\log_a(1 - 2t)\leq1$的解集为$[-1,\frac{1}{2})$.

[例] 已知函数$ y=\log_ax(a\gt0 $，且$ a\neq1) $在$ \{x|2\leqslant x\leqslant\pi\} $上的最大值比最小值大$ 1 $，则底数$ a $的值为（ ）

A.$ \frac{2}{\pi} $
B.$ \frac{\pi}{2} $
C.$ \frac{2}{\pi} $或$ \frac{\pi}{2} $
D.$ 2 - \pi $

答案： [解析] 当$ 0\lt a\lt1 $时，函数$ f(x) $在$ [2,\pi] $上是减函数，故$ \log_a2 - \log_a\pi = 1 $，故$ a=\frac{2}{\pi} $；当$ a\gt1 $时，函数$ f(x) $在$ [2,\pi] $上是增函数，故$ \log_a\pi - \log_a2 = 1 $，故$ a=\frac{\pi}{2} $。
[答案] C

[例 1] 已知$ a=\log_23.6 $，$ b=\log_43.2 $，$ c=\log_43.6 $，则（ ）

A.$ b\lt a\lt c $
B.$ c\lt b\lt a $
C.$ c\lt a\lt b $
D.$ b\lt c\lt a $

答案： [解析] 因为函数$ y=\log_2x $在$ (0,+\infty) $上是增函数，且$ 3.6\gt2 $，所以$ \log_23.6\gt\log_22 = 1 $，因为函数$ y=\log_4x $在$ (0,+\infty) $上是增函数，且$ 3.2\lt3.6\lt4 $，所以$ \log_43.2\lt\log_43.6\lt\log_44 = 1 $，所以$ \log_43.2\lt\log_43.6\lt\log_23.6 $，即$ b\lt c\lt a $。
[答案] D