《2026年优选课堂必刷题高一数学全一册人教版》

5. (多选题)(2025·四川达州·高一质量检测)已知 $2 ＜ a ＜ 5,1 ＜ b ＜ 3$,下列结论正确的是( )

A.$4 ＜ a + 2b ＜ 11$
B.$1 ＜ a - b ＜ 2$
C.$2 ＜ ab ＜ 15$
D.$2 ＜ \frac{a}{b} ＜ 5$

答案： 5.AC 对于A选项，$\begin{cases}2 ＜ a ＜ 5\\2 ＜ 2b ＜ 6\end{cases}$，所以$4 ＜ a + 2b ＜ 11$，A选项正确；对于B选项，$\begin{cases}2 ＜ a ＜ 5\\ - 3 ＜ - b ＜ - 1\end{cases}$，所以$-1 ＜ a - b ＜ 4$，B选项不正确；对于C选项，$\begin{cases}2 ＜ a ＜ 5\\1 ＜ b ＜ 3\end{cases}$，所以$2 ＜ ab ＜ 15$，C选项正确；对于D选项，$\begin{cases}2 ＜ a ＜ 5\frac{1}{3} ＜ \frac{1}{b} ＜ 1\end{cases}$，所以$\frac{2}{3} ＜ \frac{a}{b} ＜ 5$，D选项不正确；故选：AC.

6. (2025·全国·专题练习)若 $1 ＜ α ＜ 3$, $-4 ＜ β ＜ 2$,则 $2α + |β|$ 的取值范围是______。

答案： 6.解析：因为$-4 ＜ \beta ＜ 2$，所以$0 \leq |\beta| ＜ 4$，又$1 ＜ \alpha ＜ 3$，所以$2 ＜ 2\alpha ＜ 6$，所以$2 ＜ 2\alpha + |\beta| ＜ 10$。故答案为：$(2,10)$。

7. (2025·黑龙江哈尔滨质量检测)某公司准备对一项目进行投资,提出两个投资方案:方案 A 为一次性投资 300 万;方案 B 为第一年投资 80 万,以后每年投资 20 万.下列不等式表示“经过 n 年之后,方案 B 的投入不大于方案 A 的投入”的是( )

A.$80 + 20n ≥ 300$
B.$80 + 20n ≤ 300$
C.$80 + 20(n - 1) ≥ 300$
D.$80 + 20(n - 1) ≤ 300$

答案： 7.D 经过$n$年之后，方案B的投入为$80 + 20(n - 1)$，故经过$n$年之后，方案B的投入不大于方案A的投入，即$80 + 20(n - 1) \leq 300$。故选：D.

8. (2025·高一课时练习)如图两种广告牌,其中图(1)是由两个等腰直角三角形构成的,图(2)是一个矩形,从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系,并将这种关系用含字母 $a,b(a ≠ b)$ 的不等式表示出来( )


A.$\frac{1}{2}(a² + b²) ＞ ab$
B.$\frac{1}{2}(a² + b²) ＜ ab$
C.$\frac{1}{2}(a² + b²) ≥ ab$
D.$\frac{1}{2}(a² + b²) ≤ ab$

答案： 8.A 图
(1)是由两个等腰直角三角形构成的，面积$S_1 = \frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{2}b^2$。图
(2)是一个矩形，面积$S_2 = ab$。可得：$\frac{1}{2}(a^2 + b^2) ＞ ab(a \neq b)$。故选：A.

9. (2025·全国·高一专题练习)下列不等式正确的是( )

A.若 $ac² ≥ bc²$,则 $a ≥ b$
B.若 $\frac{c}{a} ＞ \frac{c}{b}$,则 $a ＜ b$
C.若 $a + b ＞ 0,c - b ＞ 0$,则 $a ＞ c$
D.若 $a ＞ 0,b ＞ 0,m ＞ 0$,且 $a ＜ b$,则 $\frac{a + m}{b + m} ＞ \frac{a}{b}$

答案： 9.D 对于A，当$c = 0$，$a = -1$，$b = 2$时满足$ac^2 \geq bc^2$，但$a ＜ b$，所以A错误；对于B，当$c = -1$，$a = -2$，$b = -3$时，满足$\frac{c}{a} ＞ \frac{c}{b}$，但$a ＞ b$，所以B错误；对于C，由不等式的基本性质易知$a + c ＞ 0$，当$a = -1$，$b = \frac{3}{2}$，$c = 2$时满足$a + b ＞ 0$，$c - b ＞ 0$，但$a ＜ c$，所以C错误；对于D，$\frac{a + m}{b + m} - \frac{a}{b} = \frac{(a + m)b - a(b + m)}{(b + m)b} = \frac{(b - a)m}{(b + m)b} ＞ 0$，所以$\frac{a + m}{b + m} ＞ \frac{a}{b}$，故D正确。故选：D.

10. (2025·山东滨州·质量检测)下列说法中正确的是( )

A.如果 $a ＞ b$,则 $ac ＞ bc$
B.如果 $a ＞ b$,则 $ac² ＞ bc²$
C.如果 $ac² ＞ bc²$,则 $a ＞ b$
D.如果 $a ＞ b,c ＞ d$,则 $ac ＞ bd$

答案： 10.C AB选项，若$a = 2$，$b = 1$，$c = 0$，满足$a ＞ b$，但此时$ac = bc$，$ac^2 = bc^2$，A、B错误；C选项，如果$ac^2 ＞ bc^2$，则$c \neq 0$，故$c^2 ＞ 0$，不等式两边同时除以$c^2$，则$a ＞ b$，C正确；D选项，若$a = 4$，$b = -1$，$c = -2$，$d = -3$，满足$a ＞ b$，$c ＞ d$，但$ac = -8$，$bd = 3$，$ac ＜ bd$，D错误。故选：C.

11. (2025·安徽合肥·高一质量检测)下列命题为真命题的是( )

A.若 $a ＞ b ＞ 0$,则 $ac² ＞ bc²$
B.若 $a ＞ b ＞ 0$,则 $a² ＞ b²$
C.若 $a ＜ b ＜ 0$,则 $a² ＜ b²$
D.若 $a ＜ b ＜ 0$,则 $\frac{1}{a} ＜ \frac{1}{b}$

答案： 11.B 对于A，若$a ＞ b ＞ 0$，则$ac^2 ＞ bc^2$，当$c = 0$时不成立，故A错误；对于B，若$a ＞ b ＞ 0$，所以$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) ＞ 0$，则$a^2 ＞ b^2$，故B正确；对于C，若$a ＜ b ＜ 0$，则$a^2 ＜ b^2$，取$a = -2$，$b = -1$，计算知不成立，故C错误；对于D，若$a ＜ b ＜ 0$，则$\frac{1}{a} ＞ \frac{1}{b}$，取$a = -2$，$b = -1$，计算知不成立，故D错误。故选：B.

12. (2025·全国·专题练习)已知 $p ∈ R$, $M = (2p + 1)(p - 3)$, $N = (p - 6)(p + 3) + 10$,则 M,N 的大小关系为( )

A.$M ＜ N$
B.$M ＞ N$
C.$M ≤ N$
D.$M ≥ N$

答案： 12.B $M - N = (2p + 1)(p - 3) - [(p - 6)(p + 3) + 10] = p^2 - 2p + 5 = (p - 1)^2 + 4 ＞ 0$，所以$M ＞ N$。故选：B.

13. (2025·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中质量检测)已知 $1 ≤ a + b ≤ 4,-1 ≤ a - b ≤ 2$,则 $3a + 2b$ 的取值范围是______。

答案： 13.解析：设$3a + 2b = x(a + b) + y(a - b) = (x + y)a + (x - y)b$，所以$\begin{cases}x + y = 3\\x - y = 2\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = \frac{5}{2}\\y = \frac{1}{2}\end{cases}$，$\therefore 3a + 2b = \frac{5}{2}(a + b) + \frac{1}{2}(a - b)$
因为$1 \leq a + b \leq 4$，$-1 \leq a - b \leq 2$，则$\frac{5}{2} \leq \frac{5}{2}(a + b) \leq 10$，$-\frac{1}{2} \leq \frac{1}{2}(a - b) \leq 1$，因此，$2 \leq 3a + 2b \leq 11$。故答案为：$[2,11]$。

14. (2025·全国·专题练习)设 $a ＞ b ＞ 0$,比较 $\frac{a² - b²}{a² + b²}$ 与 $\frac{a - b}{a + b}$ 的大小.

答案： 14.解：$\because a ＞ b ＞ 0 \Rightarrow a + b ＞ 0$，$a - b ＞ 0$，$\therefore \frac{a^2 - b^2}{a^2 + b^2} = \frac{(a + b)(a - b)}{a^2 + b^2} ＞ 0$，$\frac{a - b}{a + b} ＞ 0$，$\therefore \frac{a^2 + b^2}{a - b} = \frac{(a + b)^2}{a^2 + b^2} = 1 + \frac{2ab}{a^2 + b^2} ＞ 1$，$\therefore \frac{a^2 - b^2}{a^2 + b^2} ＞ \frac{a - b}{a + b}$。