《2026年优选课堂必刷题高一数学全一册人教版》

12. 设 $\lg 3 = a$，$\lg 5 = b$，则 $\log_2 12$ 的值为（ ）

A.$\dfrac{2b - a + 2}{1 - b}$
B.$\dfrac{2b - a + 2}{b - 1}$
C.$\dfrac{a - 2b + 2}{1 - b}$
D.$\dfrac{a - 2b + 2}{1 + b}$

答案： 12.C 根据换底公式和对数运算性质得$\log_2{12} = \frac{\lg 12}{\lg 2} = \frac{\lg 3 + 2\lg 2}{\lg 2}$，$\frac{\lg 3 + 2\lg 2}{\lg 10 - \lg 5} = \frac{2 + a - 2b}{1 - b}$。故选 C。

13. (多选题)若实数 $a$，$b$ 满足 $2^a = 5^b = 10$，则下列关系正确的有（ ）

A.$\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} = 1$
B.$\dfrac{2}{a} + \dfrac{1}{b} = \lg 20$
C.$\dfrac{1}{a} + \dfrac{2}{b} = 2$
D.$\dfrac{1}{a} + \dfrac{2}{b} = \dfrac{1}{2}$

答案： 13.AB $a = \log_2{10}$，$b = \log_5{10}$，$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{\log_{10}2} + \frac{1}{\log_{10}5} = \lg 2 + \lg 5 = 1$，故 A 正确. $\frac{2}{a} + \frac{1}{b} = \frac{2}{\log_{10}2} + \frac{1}{\log_{10}5} = \lg 4 + \lg 5 = \lg 20$，故 B 正确. $\frac{1}{a} + \frac{2}{b} = \frac{1}{\log_{10}2} + \frac{2}{\log_{10}5} = \lg 2 + \lg 25 = \lg 50$，故 C，D 不正确. 故选 AB。

14. (2025·全国·专题练习)计算
(1) $0.25^{-2} + (\dfrac{8}{27})^{-\frac{1}{3}} - \dfrac{1}{2} \lg 16 - 2 \lg 5 + (\dfrac{1}{2})^0$。
(2) $2^{\log_2 \frac{1}{4}} + (\dfrac{16}{9})^{-\frac{1}{2}} + \lg 20 - \lg 2 - (\log_3 2) × (\log_2 3) + (\sqrt{2} - 1)^{\lg 1}$。

答案： 14.解：
(1)$0.25^{-2} + (\frac{8}{27})^{-\frac{1}{3}} - \frac{1}{2}\lg 16 - 2\lg 5 + (\frac{1}{2})^0 = (2^{-2})^{-2} + [(\frac{2}{3})^3]^{-\frac{1}{3}} - 2(\lg 2 + \lg 5) + 1 = 2^4 + (\frac{2}{3})^{-1} - 2 = 16 + \frac{3}{2} - 1 = \frac{33}{2}$
(2)$2^{\log_2{\frac{1}{4}}} + (\frac{16}{9})^{-\frac{1}{2}} + \lg 20 - \lg 2 - (\log_3{2}) × (\log_2{3}) + (\sqrt{2} - 1)^{\lg 1} = \frac{1}{4} + (\frac{9}{16})^{\frac{1}{2}} + \lg(\frac{20}{2}) - (\log_3{2}) × (\frac{1}{\log_3{2}}) + (\sqrt{2} - 1)^0 = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} + \lg 10 - 1 + 1 = 1 + 1 - 1 + 1 = 2$。

[例] 求下列各式中实数 $x$ 的取值范围：
(1) $\log_{(2x - 1)}(3x + 2)$；
(2) $\log_{(x^2 + 1)}(-3x + 8)$。

答案： [解]
(1) 因为真数大于 0，底数大于 0 且不等于 1，所以 $\begin{cases}3x + 2 ＞ 0, \\ 2x - 1 ＞ 0, \\ 2x - 1 \neq 1,\end{cases}$
解得 $x ＞ \dfrac{1}{2}$，且 $x \neq 1$。
即实数 $x$ 的取值范围是 $\left\{x \mid x ＞ \dfrac{1}{2}, 且 x \neq 1\right\}$。
(2) 因为底数 $x^2 + 1 \neq 1$，所以 $x \neq 0$。
又因为 $-3x + 8 ＞ 0$，所以 $x ＜ \dfrac{8}{3}$。
综上可知，$x ＜ \dfrac{8}{3}$，且 $x \neq 0$。
即实数 $x$ 的取值范围是 $\left\{x \mid x ＜ \dfrac{8}{3}, 且 x \neq 0\right\}$。

[例] 计算下列各式：
(1) $\dfrac{1}{2} \lg \dfrac{32}{49} - \dfrac{4}{3} \lg \sqrt{8} + \lg \sqrt{245}$；
(2) $\dfrac{2 \lg 2 + \lg 3}{1 + \dfrac{1}{2} \lg 0.36 + \dfrac{1}{3} \lg 8}$；
(3) $\lg 25 + \dfrac{2}{3} \lg 8 + \lg 5 · \lg 20 + (\lg 2)^2$。

答案： [解]
(1)(方法 1)原式 $= \dfrac{1}{2}(5 \lg 2 - 2 \lg 7) - \dfrac{4}{3} × \dfrac{3}{2} \lg 2 + \dfrac{1}{2}(2 \lg 7 + \lg 5) = \dfrac{5}{2} \lg 2 - \lg 7 - 2 \lg 2 + \lg 7 + \dfrac{1}{2} \lg 5 = \dfrac{1}{2} \lg 2 + \dfrac{1}{2} \lg 5 = \dfrac{1}{2}(\lg 2 + \lg 5) = \dfrac{1}{2} \lg 10 = \dfrac{1}{2}$。
(方法 2)原式 $= \lg \dfrac{4\sqrt{2}}{7} - \lg 4 + \lg (7\sqrt{5}) = \lg \dfrac{4\sqrt{2} × 7\sqrt{5}}{7 × 4} = \lg (\sqrt{2} × \sqrt{5}) = \lg \sqrt{10} = \dfrac{1}{2}$。
(2) 原式 $= \dfrac{\lg 4 + \lg 3}{1 + \lg 0.6 + \lg 2} = \dfrac{\lg 12}{\lg (10 × 0.6 × 2)} = \dfrac{\lg 12}{\lg 12} = 1$。
(3) 原式 $= 2 \lg 5 + 2 \lg 2 + (1 - \lg 2)(1 + \lg 2) + (\lg 2)^2 = 2(\lg 5 + \lg 2) + 1 - (\lg 2)^2 + (\lg 2)^2 = 2 + 1 = 3$。