《2026年优选课堂必刷题高一数学全一册人教版》

6. (2025·全国·专题练习)设$a,b\in\mathbf{R},4^{b}=6^{a}-2^{a},5^{a}=6^{b}-2^{b}$，则（ ）

A.$1 ＜ a ＜ b$
B.$0 ＜ b ＜ a$
C.$b ＜ 0 ＜ a$
D.$b ＜ a ＜ 1$

答案： 6.A 因为$4^{b}=6^{a}-2^{a}＞0$，所以$3^{a}＞1$，所以$a＞0$，$5^{a}=6^{b}-2^{b}＞0$，所以$3^{b}＞1$，所以$b＞0$，若$a＞b$，则$5^{a}＞4^{a}＞4^{b}$，设$f(x)=6^{x}-2^{x}=2^{x}(3^{x}-1)$在$(0,+\infty)$上单调递增，所以$6^{a}-2^{a}＞6^{b}-2^{b}$，即$4^{b}＞5^{a}$，不合题意.故选：A.

7. (2025·全国·高一假期作业)不等式$(\frac{1}{3})^{x^{2}-8}＞3^{-2x}$的解集是（ ）

A.$( - 2,4)$
B.$(-\infty,-2)$
C.$(4,+\infty)$
D.$(-\infty,-2)\cup(4,+\infty)$

答案： 7.A $\because(\frac{1}{3})^{x^{2}-8}＞3^{-2x}=(\frac{1}{3})^{2x}$，$\therefore x^{2}-8＜2x$，解得$-2＜x＜4$.故选：A.

8. (2025·全国·高一专题练习)已知函数$f(x) = 4^{x}-2^{x + 2}-1,x\in[0,3]$，则其值域为______.

答案： 8.解析：令$t=2^{x}$，$x\in[0,3]$，$\therefore1\leq t\leq8$，$\therefore g(t)=t^{2}-4t-1=(t-2)^{2}-5$，$t\in[1,8]$.又$y=g(t)$关于$t=2$对称，开口向上，所以$g(t)$在$[1,2)$上单调递减，在$(2,8]$上单调递增，且$|8-2|＞|2-1|$，$\therefore t=2$时，函数取得最小值，即$g(t)_{\min}=-5$，$t=8$时，函数取得最大值，即$g(t)_{\max}=31$，$\therefore f(x)\in[-5,31]$.答案：$[-5,31]$.

9. (2025·全国·专题练习)设函数$f(x) = 2^{x(x - a)}$在区间$(0,1)$上单调递减，则$a$的取值范围是（ ）

A.$(-\infty,-2$
B.$-2,0)$
C.$(0,2$
D.$2,+\infty)$

答案： 9.D 函数$y=2^{x}$在$\mathbf{R}$上单调递增，而函数$f(x)=2^{x(x-a)}$在区间$(0,1)$上单调递减，则有函数$y=x(x-a)=(x-\frac{a}{2})^{2}-\frac{a^{2}}{4}$在区间$(0,1)$上单调递减，因此$\frac{a}{2}\geq1$，解得$a\geq2$，所以$a$的取值范围是$2,+\infty)$.故选：D.

10. (2025·全国·专题练习)函数$y = 4^{x}+2^{x - 1}+3(x\in\mathbf{R})$的值域为（ ）

A.$2,+\infty)$
B.$(3,+\infty)$
C.$(\frac{13}{3},+\infty)$
D.$9,+\infty)$

答案： 10.B 令$2^{x}=t$，$t＞0$，可得$y=t^{2}+\frac{1}{2}t+3(t＞0)$，可得函数的对称轴为：$t=-\frac{1}{4}$，故函数在$t\in(0,+\infty)$上单调递增，当$t=0$时，$y_{\min}=3$，故函数的值域为$(3,+\infty)$.故选：B.

11. (2025·全国·高一假期作业)函数$y = a^{x + m}+n(a ＞ 0$且$a\neq1)$恒过定点$(1,-2)$，$m + n =$______.

答案： 11.解析：令$x+m=0$可得$x=-m$，此时有$y=1+n$.由题意可得$-m=1$，$1+n=-2$，所以$m=-1$，$n=-3$，所以$m+n=-4$.答案：-4

12. (2025·高一课时练习)函数$y = (2a - 3)^{x}$是指数函数，则$a$的取值范围是______.

答案： 12.解析：因为$y=(2a-3)^{x}$是指数函数，所以$\begin{cases}2a-3＞0\\2a-3\neq1\end{cases}$，解得：$\frac{3}{2}＜a＜2$或$2＜a＜+\infty$即$a$的取值范围是$(\frac{3}{2},2)\cup(2,+\infty)$.故答案为：$(\frac{3}{2},2)\cup(2,+\infty)$
答案：$(\frac{3}{2},2)\cup(2,+\infty)$

13. (2025·全国·高一假期作业)函数$y = (\frac{1}{5})^{-x^{2}+2x}$的单调递增区间为______.

答案： 13.解析：令$u(x)=-x^{2}+2x$，根据二次函数的性质，可得函数$u(x)$在$(-\infty,1]$上单调递增，在$[1,+\infty)$上单调递减，又由$y=(\frac{1}{5})^{x}$，根据指数函数的性质，可得函数$y=(\frac{1}{5})^{x}$为单调递减函数，根据复数函数的单调性的判定方法，可得函数$y=(\frac{1}{5})^{-x^{2}+2x}$的单调递增区间为$[1,+\infty)$.故答案为：$[1,+\infty)$.

14. (2025·江苏南通·统考质量检测)已知函数$f(x) = 4^{x}+m·2^{x},m\in\mathbf{R}$.
(1)若$m = - 3$，解关于$x$的不等式$f(x)＞4$；
(2)若函数$y = f(x)+f(-x)$的最小值为$-4$，求$m$的值.

答案： 14.解：
(1)$m=-3$时，由$f(x)=4^{x}-3×2^{x}＞4$得，$4^{x}-3×2^{x}-4＞0$，$(2^{x}+1)(2^{x}-4)＞0$，因为$2^{x}+1＞0$，所以$2^{x}-4＞0$，解得$x＞2$，所以原不等式的解集为$(2,+\infty)$.
(2)因为$y=f(x)+f(-x)=(4^{x}+4^{-x})+m·(2^{x}+2^{-x})=(2^{x}+2^{-x})^{2}+m·(2^{x}+2^{-x})-2$，令$t=2^{x}+2^{-x}$，因为$2^{x}＞0$，所以$t=2^{x}+2^{-x}\geq2\sqrt{2^{x}·2^{-x}}=2$，(当且仅当$x=0$时取得等号).则$y=g(t)=t^{2}+m· t-2=(t+\frac{m}{2})^{2}-\frac{m^{2}}{4}-2$，$t\geq2$，①当$-\frac{m}{2}\leq2$，即$m\geq-4$时，$g(t)$在$[2,+\infty)$上单调递增，当$t=2$，即$x=0$时，$y_{\min}=2m+2$，所以$2m+2=-4$，解得$m=-3$，符合题意；②当$-\frac{m}{2}＞2$，即$m＜-4$时，$g(t)$在$[2,-\frac{m}{2}]$上单调递减，在$[-\frac{m}{2},+\infty)$上单调递增，当$t=-\frac{m}{2}$，$y_{\min}=-\frac{m^{2}}{4}-2$，所以$-\frac{m^{2}}{4}-2=-4$，解得$m=\pm2\sqrt{2}$，不合题意，舍去.综上，$m$的值为$-3$.

[例] 已知函数$f(x) = (2a - 1)^{x}$是指数函数，则实数$a$的取值范围是______.

答案： [解析] 由题意可知$\begin{cases}2a - 1 ＞ 0,\\2a - 1\neq1,\end{cases}$解得$a ＞ \frac{1}{2}$，且$a\neq1$，所以实数$a$的取值范围是$(\frac{1}{2},1)\cup(1,+\infty)$.
[答案] $(\frac{1}{2},1)\cup(1,+\infty)$

[例] 已知函数$f(x) = k· a^{-x}(k,a$为常数，$a ＞ 0$，且$a\neq1)$的图象过点$A(0,1),B(3,8)$.
(1)求函数$f(x)$的解析式；
(2)若函数$g(x) = \frac{f(x)-1}{f(x)+1}$，试判断函数$g(x)$的奇偶性并给出证明.

答案： [解]
(1)由已知得$\begin{cases}k = 1,\\k· a^{-3} = 8,\end{cases}$解得$\begin{cases}k = 1,\\a = \frac{1}{2}.\end{cases}$
故$f(x) = (\frac{1}{2})^{-x}=2^{x}$.
(2)由
(1)知$g(x) = \frac{2^{x}-1}{2^{x}+1}$，可判断函数$g(x)$为奇函数.
证明：因为函数$g(x)$的定义域为$\mathbf{R}$，且$g(-x) = \frac{2^{-x}-1}{2^{-x}+1}=\frac{1 - 2^{x}}{1 + 2^{x}}=-\frac{2^{x}-1}{2^{x}+1}=-g(x)$，所以函数$g(x)$是奇函数.