《2026年优选课堂必刷题高一数学全一册人教版》

12. (2025·全国·专题练习)已知$2x + 3y = 6(x＞0,y＞0)$，则$xy$的最大值是______.

答案： 12.解析：因为$x ＞ 0$，$y ＞ 0$，所以$xy = \frac{1}{6} · 2x · 3y \leqslant \frac{1}{6}(\frac{2x + 3y}{2})^{2} = \frac{3}{2}$，当且仅当$2x = 3y = 3$，即$x = \frac{3}{2}$，$y = 1$时等号成立，故$xy$的最大值是$\frac{3}{2}$.故答案为：$\frac{3}{2}$
答案：$\frac{3}{2}$

13. (2025·高一单元测试)若$x＜1$，则$\frac{x^{2}-2x + 3}{x - 1}$的最大值是______.

答案： 13.解析：因为$\frac{x^{2} - 2x + 3}{x - 1} = \frac{(x - 1)^{2} + 2}{x - 1} = x - 1 + \frac{2}{x - 1}$，因为$x ＜ 1$，所以$x - 1 ＜ 0$，所以$- (x - 1) + \frac{2}{- (x - 1)} \geqslant 2\sqrt{- (x - 1) · \frac{2}{- (x - 1)}} = 2\sqrt{2}$，当且仅当$- (x - 1) = \frac{2}{- (x - 1)}$即$x = 1 - \sqrt{2}$时取得等号，所以$(x - 1) + \frac{2}{x - 1} \leqslant - 2\sqrt{2}$，所以当$x = 1 - \sqrt{2}$时$\frac{x^{2} - 2x + 3}{x - 1}$的最大值是$- 2\sqrt{2}$，故答案为：$- 2\sqrt{2}$.
答案：$- 2\sqrt{2}$

14. (2025·全国·对口高考)(1)已知$x＞0$，求函数$y=\frac{x}{x^{2}+x + 4}$的最大值.
(2)已知$x＜\frac{5}{4}$，求函数$y=\frac{16x^{2}-28x + 11}{4x - 5}$的最大值.

答案： 14.解：
(1)$y = \frac{x}{x^{2} + x + 4}$可化为$y = \frac{1}{x + 1 + \frac{4}{x}}$，由基本不等式可得，$x + \frac{4}{x} \geqslant 2\sqrt{x · \frac{4}{x}} = 4$，当且仅当$x = \frac{4}{x}$时等号成立，
所以$y = \frac{1}{x + 1 + \frac{4}{x}}$，当且仅当$x = 2$时等号成立，所以
当$x = 2$时，函数$y = \frac{x}{x^{2} + x + 4}$取最大值，最大值为$\frac{1}{5}$；
(2)设$4x - 5 = t$，则$x = \frac{t + 5}{4}$，因为$x ＜ \frac{5}{4}$，所以$t ＜ 0$，所以$y = \frac{16x^{2} - 28x + 11}{4x - 5}$
$= \frac{16 × (\frac{t + 5}{4})^{2} - 28 × \frac{t + 5}{4} + 11}{t}$
$= \frac{t^{2} + 3t + 1}{t + 3 + \frac{1}{t}} = t + 3 + \frac{1}{t} = - \left[ (-t) + \left( - \frac{1}{t} \right) \right] + 3 \leqslant - 2\sqrt{(-t) · \left( - \frac{1}{t} \right)} + 3 = 1$，当且仅当$t = - 1$时，等号成立，所以当$x = 1$时，函数$y = \frac{16x^{2} - 28x + 11}{4x - 5}$取最大值，最大值为$1$.

[例] (2025·上海普陀·高一质量检测)下列不等式中等号可以取到的是（ ）
A.$\sqrt{x^{2}+5}+\frac{1}{\sqrt{x^{2}+5}}\geqslant 2$
B.$x^{2}+2+\frac{1}{x^{2}+2}\geqslant 2$
C.$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}\geqslant 2$
D.$|x|+3+\frac{1}{|x|+3}\geqslant 2$

答案： [解析] 对于A，因为$\sqrt{x^{2}+5}＞0$，所以$\sqrt{x^{2}+5}+\frac{1}{\sqrt{x^{2}+5}}\geqslant 2\sqrt{\sqrt{x^{2}+5}·\frac{1}{\sqrt{x^{2}+5}}}=2$，当且仅当$\sqrt{x^{2}+5}=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+5}}$，即$x^{2}=-4$，故等号不成立，故A不符合；对于B，因为$x^{2}+2＞0$，所以$x^{2}+2+\frac{1}{x^{2}+2}\geqslant 2\sqrt{(x^{2}+2)·\frac{1}{x^{2}+2}}=2$，当且仅当$x^{2}+2=\frac{1}{x^{2}+2}$，即$x^{2}=-1$，故等号不成立，故B不符合；对于C，因为$x^{2}＞0$，所以$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}\geqslant 2\sqrt{x^{2}·\frac{1}{x^{2}}}=2$，当且仅当$x^{2}=\frac{1}{x^{2}}$，即$x=\pm 1$时取等号，故C符合；对于D，因为$|x|+3＞0$，所以$|x|+3+\frac{1}{|x|+3}\geqslant 2\sqrt{(|x|+3)·\frac{1}{|x|+3}}=2$，当且仅当$|x|+3=\frac{1}{|x|+3}$，即$|x|=-2$，故等号不成立，故D不符合.故选：C.

[例] (多选题)(2025·大庆实验中学校考模拟预测)下列结论中，正确的是（ ）
A.若$xy＞0$，$2x + y = xy$，则$2x + y$的最小值为8
B.若$x＜-3$，则函数$y = x+\frac{1}{x + 3}$的最小值为$-1$
C.已知正数$a,b$满足$ab = a + b$，则$\frac{1}{a - 1}+\frac{1}{b - 1}\geqslant 2$
D.已知$a＞0,b＞0$，且$a^{2}+b = 1$，则$a+\sqrt{b}\leqslant \sqrt{2}$

答案： [解析] 对于A，因为$xy＞0$，$2x + y = xy$，所以$x＞0,y＞0$，且$\frac{1}{x}+\frac{2}{y}=1$，则$2x + y=(2x + y)(\frac{1}{x}+\frac{2}{y})=4+\frac{y}{x}+\frac{4x}{y}\geqslant 4+2\sqrt{\frac{y}{x}·\frac{4x}{y}}=8$，当且仅当$\frac{y}{x}=\frac{4x}{y}$，即$y = 2x = 4$时取等号，所以$2x + y$的最小值为8，故A正确；对于B，若$x＜-3$，则$x + 3＜0$，则$-x - 3＞0$，则$y = x+\frac{1}{x + 3}=-[(-x - 3)+\frac{1}{(-x - 3)}]-3\leqslant -2\sqrt{(-x - 3)·\frac{1}{(-x - 3)}}-3=-5$，当且仅当$(-x - 3)=\frac{1}{(-x - 3)}$，即$x=-4$时取等号，所以函数$y = x+\frac{1}{x + 3}$的最大值为$-5$，故B错误.对于C，因为正数$a,b$满足$ab = a + b$，所以$(a - 1)(b - 1)=1$，且$a＞1,b＞1$，所以$\frac{1}{a - 1}+\frac{1}{b - 1}\geqslant 2\sqrt{\frac{1}{(a - 1)(b - 1)}}=2$，当且仅当$a = b = 2$时等号成立，故C正确.对于D，$\because a＞0,b＞0$，且$a^{2}+b = 1$，$\therefore 1 = a^{2}+b\geqslant 2a\sqrt{b}$，$\therefore 2(a^{2}+b)\geqslant (a+\sqrt{b})^{2}$，$\therefore (a+\sqrt{b})^{2}\leqslant 2$，当且仅当$a=\sqrt{b}=\frac{\sqrt{2}}{2}$取等号，故D正确.故选：ACD.