《2026年优选课堂必刷题高一数学全一册人教版》

5. (2025·江苏·高一假期作业)有下列说法：
①$\sqrt[3]{-125}=5$；②$16$的$4$次方根是$\pm2$；
③$\sqrt[4]{81}=\pm3$；④$\sqrt{(x + y)^{2}}=\vert x + y\vert$.
其中，正确的有______（填序号）.

答案： 5.解析：$n$为奇数时，负数的$n$次方根是一个负数，$\sqrt[3]{-125}=$
$-5$，故$①$错误；$16$的$4$次方根有两个，为$\pm2$，故$②$正确；因
为$\sqrt[4]{81}=3$，故$③$错误；因为$\sqrt{(x+y)^2}$是正数，故$\sqrt{(x+y)^2}$
$=|x+y|$，故$④$正确.故答案为：$②④$
答案：$②④$

6. (多选题)(2025·江苏·高一假期作业)下列各式中一定成立的有（ ）

A.$(\frac{n}{m})^{7}=n^{7}m^{\frac{1}{7}}$
B.$\sqrt[12]{(-3)^{4}}=\sqrt[3]{3}$
C.$\sqrt[4]{x^{3}+y^{3}}=(x + y)^{\frac{3}{4}}$
D.$\sqrt{\sqrt[3]{9}}=\sqrt[3]{3}$

答案： 6.BD $\left(\frac{n}{m}\right)^7=n^7m^{-7}$，A错误；$\sqrt[12]{(-3)^4}=3^\frac{4}{12}=\sqrt[3]{3}$，B正确；
$\sqrt[3]{x^3+y^3}=(x^3+y^3)^\frac{1}{3}$，C错误；$\sqrt[3]{9}=({9^\frac{1}{2}})^\frac{1}{3}=({9^\frac{1}{3}})^\frac{1}{2}=\sqrt[3]{3}$，D正确.故选：BD.

7. (2025·高一课时练习)根式$\sqrt{\frac{1}{\sqrt{a}}\sqrt{\frac{1}{a}}}$的分数指数幂的形式为（ ）

A.$a^{-\frac{4}{3}}$
B.$a^{\frac{4}{3}}$
C.$a^{\frac{3}{4}}$
D.$a^{-\frac{3}{8}}$

答案： 7.D $\sqrt{\frac{1}{\sqrt{a}}\sqrt{\frac{1}{a}}}=\sqrt{a^{-\frac{1}{2}}·\left(a^{-\frac{1}{2}}\right)^\frac{1}{2}}=\sqrt{a^{-\frac{1}{2}}· a^{-\frac{1}{4}}}=$
$\sqrt{a^{-\frac{3}{4}}}=a^{-\frac{3}{8}}$.故选D.

8. (2025·河南郑州第七中学质量检测)已知$a + a^{-1}=3$，下列各式中正确的个数是（ ）
①$a^{2}+a^{-2}=7$；②$a^{3}+a^{-3}=18$；③$a^{\frac{1}{2}}+a^{-\frac{1}{2}}=\pm\sqrt{5}$；④$a\sqrt{a}+\frac{1}{a\sqrt{a}}=2\sqrt{5}$；

A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$4$

答案： 8.C $①a^2+a^{-2}=(a+a^{-1})^2-2=9-2=7$，正确；$②a^3+a^{-3}$
$=(a+a^{-1})(a^2-1+a^{-2})=3×(7-1)=18$，正确；$③$因为$a+a^{-1}=3$可知$a＞0$，$a^\frac{1}{2}+a^{-\frac{1}{2}}＞0$，$(a^\frac{1}{2}+a^{-\frac{1}{2}})^2=a+2+a^{-1}=5$，所以$a^\frac{1}{2}+a^{-\frac{1}{2}}=\sqrt{5}$，故错误；$④a\sqrt{a}+\frac{1}{a\sqrt{a}}=a^\frac{3}{2}+a^{-\frac{3}{2}}=(a^\frac{1}{2}+a^{-\frac{1}{2}})(a-1+a^{-1})=\sqrt{5}(a-1+a^{-1})=2\sqrt{5}$，正
确.故选：C.

9. (2025·全国·专题练习)化简$4a^{\frac{2}{3}}b^{-\frac{1}{3}}÷(-\frac{2}{3}a^{-\frac{1}{3}}b^{\frac{2}{3}})$的结果为（ ）

A.$-\frac{2a}{3b}$
B.$-\frac{8a}{b}$
C.$-\frac{6a}{b}$
D.$6ab$

答案： 9.C $4a^\frac{2}{3}b^{-\frac{1}{3}}÷\left(-\frac{2}{3}a^{-\frac{1}{3}}b^\frac{2}{3}\right)=\left[4÷\left(-\frac{2}{3}\right)\right]a^{\frac{2}{3}-\left(-\frac{1}{3}\right)}b^{-\frac{1}{3}-\frac{2}{3}}=-6ab^{-1}=-\frac{6a}{b}$.故选：C.

10. (2025·全国·高一假期作业)已知$m^{\frac{1}{2}}+m^{-\frac{1}{2}}=4$，则$\frac{m^{\frac{3}{2}}-m^{-\frac{3}{2}}}{m^{\frac{1}{2}}-m^{-\frac{1}{2}}}$的值是（ ）

A.$15$
B.$12$
C.$16$
D.$25$

答案： 10.A 因为$m^\frac{3}{2}+m^{-\frac{3}{2}}=4$，所以$m+m^{-1}=(m^\frac{1}{2}+m^\frac{1}{2})^2-2=16-2=14$，又由立方差公式，$\frac{m^\frac{3}{2}-m^{-\frac{3}{2}}}{m^\frac{1}{2}-m^{-\frac{1}{2}}}=\frac{(m^\frac{1}{2}-m^{-\frac{1}{2}})(m+1+m^{-1})}{m^\frac{1}{2}-m^{-\frac{1}{2}}}=m+1+m^{-1}=15$.
故选：A.

11. (2025·全国·专题练习)已知$x^{\frac{1}{2}}+x^{-\frac{1}{2}}=3$，则$\frac{x^{2}+x^{-2}-2}{x^{\frac{3}{2}}+x^{-\frac{3}{2}}-3}=$______.

答案： 11.解析：解：因为$x^\frac{1}{2}+x^{-\frac{1}{2}}=3$，所以$\left(x^\frac{1}{2}+x^{-\frac{1}{2}}\right)^2=x+x^{-1}+2=9$，即$x+x^{-1}=7$，所以$(x+x^{-1})^2=x^2+x^{-2}+2=49$，
即$x^2+x^{-2}=47$，所以$\frac{x^2+x^{-2}-2}{x^\frac{1}{2}+x^{-\frac{3}{2}}-3}=$
$\frac{47-2}{3×6-3}=\frac{45}{15}=3$.故答案
为：3.
答案3

12. (2025·全国·专题练习)(1)计算$0.027^{-\frac{1}{3}}-(-\frac{1}{6})^{-2}+81^{0.75}+(\frac{1}{9})^{0}-3^{-1}$；
(2)若$x^{\frac{1}{2}}+x^{-\frac{1}{2}}=\sqrt{6}$，求$x^{2}+x^{-2}$的值.

答案： 12.解：$(1)0.027^{-\frac{1}{3}}-\left(-\frac{1}{6}\right)^{-2}+81^{0.75}+\left(\frac{1}{9}\right)^0-3^{-1}=$
$3^{-1}-36+3^3+1-\frac{1}{3}=\frac{10}{3}-36+27+1-\frac{1}{3}=-5$.
(2)若$x^\frac{1}{2}+x^{-\frac{1}{2}}=\sqrt{6}$，$\therefore x+\frac{1}{x}+2=6$，$x+\frac{1}{x}=4$，$\therefore x^2+$
$x^{-2}=16$，$\therefore x^2+x^{-2}=14$.

13. (2025·江苏·高一假期作业)计算：
(1)$(-\frac{1}{27})^{-\frac{1}{3}}+0.002^{-\frac{1}{2}}-10(\sqrt{5}-2)^{-1}+\pi^{0}$；
(2)$8^{\frac{2}{3}}-(\frac{1}{2})^{-2}+(\frac{16}{81})^{-\frac{3}{4}}-(\sqrt{2}-1)^{0}$

答案： 13.解：$(1)\left(-\frac{1}{27}\right)^{-\frac{1}{3}}+0.002^{-\frac{1}{2}}-10(\sqrt{5}-2)^{-1}+\pi^0=-3+$
$10\sqrt{5}-10\sqrt{5}-20+1=-22$；
(2)$8^\frac{2}{3}-\left(\frac{1}{2}\right)^{-2}+\left(\frac{16}{81}\right)^{-\frac{3}{4}}-(\sqrt{2}-1)^0=2^{3×\frac{2}{3}}-4+$
$\left(\frac{2}{3}\right)^{4×\left(-\frac{4}{3}\right)}-1=4-4+\frac{27}{8}-1=\frac{19}{8}$.

14. (2025·全国·专题练习)(1)计算：$(\frac{1}{25})^{-\frac{1}{2}}×(\frac{64}{125})^{\frac{1}{3}}+(\sqrt{2}×\sqrt[4]{6})^{4}÷(\sqrt{\sqrt[4]{2}})^{\frac{\sqrt{2}}{2}}$；
(2)已知$a,b(a＞b)$是方程$x^{2}-5x + 5 = 0$的两根，求$\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}$的值.

答案： 14.解：
(1)原式$=25^\frac{1}{2}×\frac{4}{5}+\left(2^\frac{1}{2}×6^\frac{1}{4}\right)÷\left(4^\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^\frac{1}{2}=5×\frac{4}{5}+$ $4×6÷4^\frac{1}{2}=4+12=16$；
(2)由题意$a+b=5$，$ab=5$，又$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab=5^2-4×5=5$，而$a＞b$，所以$a-b=\sqrt{5}$，所以$\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=$ $\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2+(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})}=\frac{a-2\sqrt{ab}+b+a+2\sqrt{ab}+b}{a-b}=$
$\frac{2(a+b)}{\sqrt{5}}=\frac{10}{a-b}=2\sqrt{5}$.