《2026年优选课堂必刷题高一数学全一册人教版》

12. 函数 $f(x)=\frac{\sin x}{1+\cos x}$ 的奇偶性是（ ）

A.奇函数
B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.既不是奇函数也不是偶函数

答案： 12.A 因为$f(x)$的定义域为$\{ x|x \neq 2k\pi + \pi,k \in \mathbf{Z}\}$，关于原点对称，又$f( - x) = \frac{\sin( - x)}{1 + \cos( - x)} = \frac{- \sin x}{1 + \cos x} = - f(x)$，所以函数$f(x)$为奇函数，故选A.

13. （多选题）下列关于函数 $f(x) = \sin(x+\varphi)$ 的说法错误的是（ ）

A.对任意的 $\varphi$，$f(x)$ 都是非奇非偶函数
B.存在 $\varphi$，使 $f(x)$ 是偶函数
C.存在 $\varphi$，使 $f(x)$ 是奇函数
D.对任意的 $\varphi$，$f(x)$ 都不是偶函数

答案： 13.AD $\varphi = 0$时，$f(x) = \sin x$是奇函数；$\varphi = \frac{\pi}{2}$时，$f(x) = \cos x$是偶函数，所以B、C中的说法正确，A、D中的说法错误，故选AD.

14. (2025·江苏·校联考阶段练习)已知函数 $f(x) = 2\cos(\omega x+\varphi)(\omega＞0,0＜\varphi＜\pi)$ 的图象经过点 $A\left(\frac{\pi}{3},-2\right)$，且 $f(x)$ 图象相邻的两条对称轴之间的距离是 $\frac{\pi}{2}$。
(1)求 $f(x)$ 的单调递增区间；
(2)若对任意的 $x\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$，不等式 $\left|f(x)-m\right|\leqslant2$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围。

答案： 14.解：
(1)由题意可得$f(x)$的最小正周期$T = \pi$，则$\omega = 2$，因为$f(x)$的图象经过点$A(\frac{\pi}{3}, - 2)$，所以$f(\frac{\pi}{3}) = 2\cos(2 × \frac{\pi}{3} + \varphi) = - 2$，所以$\frac{2\pi}{3} + \varphi = 2k_{1}\pi + \pi(k_{1} \in \mathbf{Z})$，解得$\varphi = 2k_{1}\pi + \frac{\pi}{3}(k_{1} \in \mathbf{Z})$，因为$0 ＜ \varphi ＜ \pi$，所以$\varphi = \frac{\pi}{3}$，令$2k\pi - \pi \leqslant 2x + \frac{\pi}{3} \leqslant 2k\pi(k \in \mathbf{Z})$，解得$k\pi - \frac{2\pi}{3} \leqslant x \leqslant k\pi - \frac{\pi}{6}(k \in \mathbf{Z})$，即$f(x)$的单调递增区间为$[k\pi - \frac{2\pi}{3},k\pi - \frac{\pi}{6}](k \in \mathbf{Z})$；
(2)因为$x \in [0,\frac{\pi}{2}]$，所以$2x + \frac{\pi}{3} \in [\frac{\pi}{3},\frac{4\pi}{3}]$，所以$\cos(2x + \frac{\pi}{3}) \in [ - 1,\frac{1}{2}]$，则$f(x) \in [ - 2,1]$，因为对任意的$x \in [0,\frac{\pi}{2}]$，不等式$|f(x) - m| \leqslant 2$恒成立，所以$m - 2 \leqslant f(x) \leqslant m + 2$恒成立，所以$\begin{cases} m - 2 \leqslant - 2 \\ m + 2 \geqslant 1 \end{cases}$，解得$- 1 \leqslant m \leqslant 0$.故$m$的取值范围为$[ - 1,0]$.

[例] 函数 $f(x)=\tan\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{3}\right)$。
(1)求函数 $f(x)$ 的定义域、最小正周期、单调区间及对称中心；
(2)求不等式 $-1\leqslant f(x)\leqslant\sqrt{3}$ 的解集。

答案： [解]
(1)由 $\frac{x}{2}-\frac{\pi}{3}\neq\frac{\pi}{2}+k\pi(k\in\mathbf{Z})$，得 $x\neq\frac{5\pi}{3}+2k\pi(k\in\mathbf{Z})$，
所以 $f(x)$ 的定义域是 $\left\{x\left|x\neq\frac{5\pi}{3}+2k\pi,k\in\mathbf{Z}\right.\right\}$。因为 $\omega=\frac{1}{2}$，
所以最小正周期 $T=\frac{\pi}{\left|\omega\right|}=\frac{\pi}{\frac{1}{2}} = 2\pi$。
由 $-\frac{\pi}{2}+k\pi＜\frac{x}{2}-\frac{\pi}{3}＜\frac{\pi}{2}+k\pi(k\in\mathbf{Z})$，
得 $-\frac{\pi}{3}+2k\pi＜x＜\frac{5\pi}{3}+2k\pi(k\in\mathbf{Z})$。
所以函数 $f(x)$ 的单调递增区间是 $\left(-\frac{\pi}{3}+2k\pi,\frac{5\pi}{3}+2k\pi\right)(k\in\mathbf{Z})$，无单调递减区间。由 $\frac{x}{2}-\frac{\pi}{3}=\frac{k\pi}{2}(k\in\mathbf{Z})$，
得 $x = k\pi+\frac{2\pi}{3}(k\in\mathbf{Z})$，
故函数 $f(x)$ 的对称中心是 $\left(k\pi+\frac{2\pi}{3},0\right)(k\in\mathbf{Z})$。
(2)由 $-1\leqslant\tan\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{3}\right)\leqslant\sqrt{3}$，
得 $-\frac{\pi}{4}+k\pi\leqslant\frac{x}{2}-\frac{\pi}{3}\leqslant\frac{\pi}{3}+k\pi(k\in\mathbf{Z})$，
解得 $\frac{\pi}{6}+2k\pi\leqslant x\leqslant\frac{4\pi}{3}+2k\pi(k\in\mathbf{Z})$。
所以不等式 $-1\leqslant f(x)\leqslant\sqrt{3}$ 的解集是 $\left\{x\left|\frac{\pi}{6}+2k\pi\leqslant x\leqslant\frac{4\pi}{3}+2k\pi,k\in\mathbf{Z}\right.\right\}$