《2026年优选课堂必刷题高一数学全一册人教版》

9. (2025·江西新余·质量检测)若$A=\{x|x=\frac{k}{6}+1,k\in \mathbf{Z}\}$，$B=\{x|x=\frac{k}{3}+\frac{1}{2},k\in \mathbf{Z}\}$，$C=\{x|x=\frac{2k}{3}+\frac{1}{2},k\in \mathbf{Z}\}$，则这三个集合间的关系是 ( )

A.$A\subseteq B\subseteq C$
B.$A\subseteq C\subseteq B$
C.$C\subseteq B\subseteq A$
D.$C\subseteq A\subseteq B$

答案： 9.C 依题意，$A = \{x \mid x = \frac{k + 6}{6},k \in \mathbb{Z}\} = \{x \mid x = \frac{(k + 3) + 3}{6},k \in \mathbb{Z}\}$，$B = \{x \mid x = \frac{2k + 3}{6},k \in \mathbb{Z}\}$，$C = \{x \mid x = \frac{4k + 3}{6},k \in \mathbb{Z}\} = \{x \mid x = \frac{2 × 2k + 3}{6},k \in \mathbb{Z}\}$，而$\{x \mid x = k + 3,k \in \mathbb{Z}\} = \mathbb{Z}$，$\{偶数\} = \{x \mid x = 2k,k \in \mathbb{Z}\}$，因此集合C中的任意元素都是集合B中的元素，即有$C \subseteq B$，集合B中的每一个元素都是集合A中的元素，即$B \subseteq A$，所以$C \subseteq B \subseteq A$. 故选C.

10. (2025·全国·高一专题练习)集合$A=\{x|x-7\lt 0,x\in {\mathbf{N}}^{*}\}$，则$B=\{y|\frac{6}{y}\in {\mathbf{N}}^{*},y\in A\}$的子集的个数为 ( )

A.4
B.8
C.15
D.16

答案： 10.D 集合$A = \{x \mid x - 7 ＜ 0,x \in \mathbb{N}^*\} = \{x \mid x ＜ 7,x \in \mathbb{N}^*\} = \{1,2,3,4,5,6\}$，$B = \{y \mid \frac{6}{y} \in \mathbb{N}^*,y \in A\} = \{1,2,3,6\}$，故$B$有$2^4 = 16$个子集. 故选D.

11. (2025·四川眉山·高一质量检测)若集合$A=\{x|x=\frac{1}{9}(2k+1),k\in \mathbf{Z}\}$，$B=\{x|x=\frac{4}{9}k\pm \frac{1}{9},k\in \mathbf{Z}\}$，则集合$A$，$B$之间的关系表示最准确的为 ( )

A.$A\subseteq B$
B.$B\subseteq A$
C.$A=B$
D.$A$与$B$互不包含

答案： 11.C 对于集合A，当$k = 2n(n \in \mathbb{Z})$时，$A = \{x \mid x = \frac{4}{9}n + \frac{1}{9},n \in \mathbb{Z}\}$，当$k = 2n - 1(n \in \mathbb{Z})$时，$A = \{x \mid x = \frac{4}{9}n - \frac{1}{9},n \in \mathbb{Z}\}$，所以$A = B$. 故选C.

12. (多选题)(2025·福建宁德·质量检测)已知集合$M=\{2,4\}$，集合$M\subseteq N$，$N$是$\{1,2,3,4,5\}$的真子集，则集合$N$可以是 ( )

A.$\{2,4\}$
B.$\{2,3,4\}$
C.$\{1,2,3,4\}$
D.$\{1,2,3,4,5\}$

答案： 12.ABC 集合$M = \{2,4\}$，集合$M \subseteq N \subsetneqq \{1,2,3,4,5\}$，则集合N中至少包含$2,4$两个元素，又不能等于或多于$\{1,2,3,4,5\}$中的元素，所以集合N可以是$\{2,4\}$，$\{2,3,4\}$，$\{1,2,3,4\}$.
故选ABC.

13. 对于任意两集合$A$，$B$，定义$A-B=\{x|x\in A$且$x\notin B\}$，$A*B=(A-B)\cup (B-A)$，记$A=\{x|x\geqslant 0\}$，$B=\{x|-3\leqslant x\leqslant 3\}$，则$A*B=$ 。

答案： 13.解析：$\because A = \{x \mid x \geq 0\}$，$B = \{x \mid -3 \leq x \leq 3\}$，$\therefore A - B = \{x \mid x ＞ 3\}$，$B - A = \{x \mid -3 \leq x ＜ 0\}$.
$\therefore A * B = \{x \mid -3 \leq x ＜ 0,或 x ＞ 3\}$.
答案：$\{x \mid -3 \leq x ＜ 0,或 x ＞ 3\}$

14. (2025·高一课时练习)已知集合$A=\{x|x^{2}-ax+4=0\}$，$B=\{1,4\}$，且$A\subseteq B$，求实数$a$的取值范围。

答案： 14.解析：由题意知，$\because A \subseteq B$，$A = \varnothing$，则$\Delta = a^2 - 4 × 4 ＜ 0$，解得$-4 ＜ a ＜ 4$；若$A \neq \varnothing$，$\Delta = a^2 - 16 = 0$，解得$a = 4$或$-4$，当$a = 4$时，则方程为$x^2 - 4x + 4 = 0$，解得$x = 2$，此时$A = \{2\}$，不合题意，舍去；当$a = -4$时，则方程为$x^2 + 4x + 4 = 0$，解得$x = -2$，$A = \{-2\}$，不合题意，舍去；当$\Delta ＞ 0$，即$a^2 - 16 ＞ 0$，解得$a ＞ 4$或$a ＜ -4$，则由题意知$A = \{1,4\}$，则$1,4$为方程$x^2 - ax + 4 = 0$两根，根据韦达定理得$a = 1 + 4 = 5$. 综上所述$a$的范围是$\{a \mid -4 ＜ a ＜ 4,或 a = 5\}$.
答案：$\{a \mid -4 ＜ a ＜ 4,或 a = 5\}$

[例] (2025·首都师范大学附属中学校考开学考试)集合$A=\{x|x\lt -1$或$x\geqslant 3\}$，$B=\{x|ax+1\leqslant 0,a\in \mathbf{Z}\}$，若$B\subseteq A$，则实数$a$的取值范围是 ( )

A.$\{1\}$
B.$\{0,1\}$
C.$\{0\}$
D.$\varnothing$

答案： [解析] 因为$A=\{x|x\lt -1$，或$x\geqslant 3\}$，$B=\{x|ax+1\leqslant 0,a\in \mathbf{Z}\}$，当$a=0$时$B=$
$\varnothing$，此时$B\subseteq A$，符合题意；当$a\ne 0$时，若$a\gt 0$则$B=\{x|x\leqslant -\frac{1}{a},a\in \mathbf{Z}\}$，因为$B\subseteq A$，所以$-\frac{1}{a}\lt -1$，解得$0\lt a\lt 1$，又$a\in \mathbf{Z}$，所以$a\in \varnothing$，若$a\lt 0$则$B=\{x|x\geqslant -\frac{1}{a},a\in \mathbf{Z}\}$，因为$B\subseteq A$，所以$-\frac{1}{a}\geqslant 3$，解得$-\frac{1}{3}\leqslant a\lt 0$，又$a\in \mathbf{Z}$，所以$a\in \varnothing$，综上可得$a=0$，即实数$a$的取值范围是$\{0\}$。故选：C。
[答案] C

[例 1] (2025·全国·专题练习)已知集合$M=\{x|x^{2}+x-6=0\}$，$N=\{x|mx-1=0\}$，若$N\subseteq M$，则实数$m$的取值构成的集合为 。

答案： [解析] $\because$集合$M=\{x|x^{2}+x-6=0\}$，$\therefore$集合$M=\{2,-3\}$，$\because N\subseteq M$，$N=\{x|mx-1=0\}$，$\therefore N=\varnothing$，或$N=\{2\}$，或$N=\{-3\}$三种情况，当$N=\varnothing$时，可得$m=0$；当$N=\{2\}$时，$\because N=\{x|mx-1=0\}$，$\therefore x=\frac{1}{m}=2$，$\therefore m=\frac{1}{2}$；当$N=\{-3\}$，$x=\frac{1}{m}=-3$，$\therefore m=-\frac{1}{3}$。$\therefore$实数$m$的取值构成的集合为$\{0,\frac{1}{2},-\frac{1}{3}\}$，故答案为：$\{0,\frac{1}{2},-\frac{1}{3}\}$。
[答案] $\{0,\frac{1}{2},-\frac{1}{3}\}$