《2026年优选课堂必刷题高一数学全一册人教版》

[例] 用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角$\theta$的集合.

答案： [解] 因为$30^{\circ}=\frac{\pi}{6}rad$,$210^{\circ}=\frac{7\pi}{6}rad$,
这两个角的终边所在的直线相同,因为终边在直线$AB$上的角为$\alpha = k\pi+\frac{\pi}{6}$,$k\in\mathbf{Z}$,而终边在$y$轴上的角为$\beta = k\pi+\frac{\pi}{2}$,$k\in\mathbf{Z}$,从而终边落在阴影部分内的角的集合为$\{\theta|k\pi+\frac{\pi}{6}＜\theta＜k\pi+\frac{\pi}{2},k\in\mathbf{Z}\}$.

1. (2025·湖南·统考学业考试)设角$\alpha$的终边与单位圆的交点坐标为$(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$，则$\sin\alpha =$（ ）

A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.$1$

答案： 1.C 由题意得$\sin \alpha=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，故选：C.

2. (2025·全国·高一专题练习)已知角$\alpha$的终边与单位圆交于点$P(-\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{6}}{3})$，则$\sin\alpha·\cos\alpha =$（ ）

A.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
B.$-\frac{\sqrt{2}}{3}$
C.$-\frac{\sqrt{3}}{3}$
D.$\frac{\sqrt{2}}{3}$

答案： 2.B $\alpha$的终边与单位圆交于点$P\left(-\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{6}}{3}\right)$，故$r=|OP|=$
1，$x=-\frac{\sqrt{3}}{3}$，$y=\frac{\sqrt{6}}{3}$，故$\sin \alpha=\frac{y}{r}=\frac{\frac{\sqrt{6}}{3}}{1}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，$\cos \alpha=\frac{x}{r}=\frac{-\frac{\sqrt{3}}{3}}{1}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$，所以$\sin \alpha·\cos \alpha=\frac{\sqrt{6}}{3}·\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{3}$，故
选：B.

3. 若$-\frac{\pi}{2}\lt\alpha\lt0$，则点$Q(\cos\alpha,\sin\alpha)$位于（ ）

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

答案： 3.D 因为$-\frac{\pi}{2}＜\alpha＜0$，所以$\cos \alpha＞0$，$\sin \alpha＜0$，则点$Q(\cos \alpha$，
$\sin \alpha)$位于第四象限.故选D.

4. (多选题)若$\sin\theta·\cos\theta\gt0$，则$\theta$在（ ）

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

答案： 4.AC 由题意可知$\sin \theta$与$\cos \theta$同号，故$\theta$在第一或第三象
限，故选AC.

5. (2025·全国·高一课堂例题)已知$\alpha$是第二象限角，且$\cos\alpha =-\frac{1}{3}$，则$\tan\alpha$的值是（ ）

A.$\frac{1}{3}$
B.$-\frac{\sqrt{2}}{3}$
C.$\frac{\sqrt{2}}{4}$
D.$-2\sqrt{2}$

答案： 5.D 方法一 $\because\alpha$为第二象限角，
$\therefore\sin \alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\sqrt{1-\left(-\frac{1}{3}\right)^2}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$
$\therefore\tan \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=\frac{\frac{2\sqrt{2}}{3}}{-\frac{1}{3}}=-2\sqrt{2}$.
方法二 $\because\cos \alpha=-\frac{1}{3}$，
$\therefore$角$\alpha$终边上一点$P$的坐标为$(-1,2\sqrt{2})$，
则$\tan \alpha=\frac{2\sqrt{2}}{-1}=-2\sqrt{2}$.
故选：D.

6. (2025·全国·高一专题练习)已知$\sin\theta$，$\cos\theta$是关于$x$的方程$5x^{2}-x + 5m = 0$的两根，则实数$m=$______。

答案： 6.解析：由$\sin \theta$，$\cos \theta$是关于$x$的方程$5x^2-x+5m=0$的两
根，所以$\begin{cases} \sin \theta+\cos \theta=\frac{1}{5}\\ \sin \theta\cos \theta=m\\ \Delta=1-100m＞0\end{cases}$
由$(\sin \theta+\cos \theta)^2=1+2\sin \theta\cos \theta$，可得$\left(\frac{1}{5}\right)^2=1+2m$，则
$m=-\frac{12}{25}$，经检验符合题意，所以实数$m$的值为$-\frac{12}{25}$.故答
案为：$-\frac{12}{25}$.

7. 已知$\frac{\sin\theta + \cos\theta}{\sin\theta - 2\cos\theta}=\frac{1}{2}$，则$\tan\theta$的值为（ ）

A.$-4$
B.$-\frac{1}{4}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$4$

答案： 7.A $\because\frac{\sin \theta+\cos \theta}{\sin \theta-2\cos \theta}=\frac{1}{2}$，
$\therefore\frac{\tan \theta+1}{\tan \theta-2}=\frac{1}{2}$，解得$\tan \theta=-4$.故选A.