《2026年优选课堂必刷题高一数学全一册人教版》

[例] (2025·全国·对口高考)解关于$x$的不等式：
（1）$ax^{2}-2(a + 1)x + 4 ＜ 0$
（2）$\frac {(a - 1)x + (2 - a)}{x - 2} ＞ 0$

答案： [解] （1）$ax^{2}-2(a + 1)x + 4 ＜ 0 \Rightarrow (ax - 2)(x - 2) ＜ 0$。若$a = 0$，$(ax - 2)(x - 2) = -2(x - 2) ＜ 0$，解不等式得$x ＞ 2$；若$a \neq 0$，则不等式可化为：$ax^{2}-2(a + 1)x + 4 ＜ 0 \Rightarrow (ax - 2)(x - 2) = a(x - \frac {2}{a})(x - 2) ＜ 0$。
①若$a ＜ 0$，则$\frac {2}{a} ＜ 2$，解不等式得$x ＜ \frac {2}{a}$或$x ＞ 2$；②若$a \in (0,1)$，则$\frac {2}{a} ＞ 2$，解不等式得$2 ＜ x ＜ \frac {2}{a}$；③若$a = 1$，则$(x - 2)^{2} ＜ 0$无解，即$x \in \varnothing$；④若$a ＞ 1$，则$\frac {2}{a} ＜ 2$，解不等式得$2 ＞ x ＞ \frac {2}{a}$。综上所述：当$a = 0$时，不等式的解集为$(2, +\infty)$；当$a ＜ 0$时，不等式的解集为$(-\infty, \frac {2}{a}) \cup (2, +\infty)$；当$0 ＜ a ＜ 1$时，不等式的解集为$(2, \frac {2}{a})$；当$a = 1$时，不等式的解集为$\varnothing$；当$a ＞ 1$时，不等式的解集为$(\frac {2}{a}, 2)$。
（2）由$\frac {(a - 1)x + (2 - a)}{x - 2} ＞ 0 \Rightarrow [(a - 1)x + (2 - a)](x - 2) ＞ 0$，若$a = 1$，则$(x - 2) ＞ 0$，即$x ＞ 2$；若$a \neq 1$，原不等式可化为：$\frac {(a - 1)x + (2 - a)}{x - 2} ＞ 0 \Rightarrow [(a - 1)x + (2 - a)](x - 2) = (a - 1)(x - \frac {a - 2}{a - 1})(x - 2) ＞ 0$，若$a ＞ 1$，则$\frac {a - 2}{a - 1} ＜ 2$，解不等式得：$x ＞ 2$或$x ＜ \frac {a - 2}{a - 1}$；若$0 ＜ a ＜ 1$，则$\frac {a - 2}{a - 1} ＞ 2$，解不等式得：$2 ＜ x ＜ \frac {a - 2}{a - 1}$；若$a = 0$，则$(-x + 2)(x - 2) = -(x - 2)^{2} ＞ 0$，显然无解，即$x \in \varnothing$；若$a ＜ 0$，则$\frac {a - 2}{a - 1} ＜ 2$，解不等式得：$2 ＞ x ＞ \frac {a - 2}{a - 1}$。综上所述：当$a ＞ 1$时，不等式的解集为$(-\infty, \frac {a - 2}{a - 1}) \cup (2, +\infty)$；当$a = 1$时，不等式的解集为$(2, +\infty)$；当$0 ＜ a ＜ 1$时，不等式的解集为$(2, \frac {a - 2}{a - 1})$；当$a = 0$时，不等式的解集为$\varnothing$；当$a ＜ 0$时，不等式的解集为$(\frac {a - 2}{a - 1}, 2)$。