《2026年优选课堂必刷题高一数学全一册人教版》

[例] 已知函数 $ f(x) = x^2 + 2mx + 3m + 4 $。
(1) 若 $ f(x) $ 有且只有一个零点，求实数 $ m $ 的值；
(2) 若 $ f(x) $ 有两个零点，且均比 $ -1 $ 大，求 $ m $ 的取值范围。

答案： [解]
(1) 由题意可知方程 $ x^2 + 2mx + 3m + 4 = 0 $ 有两个相等实数根，$ \therefore \Delta = 4m^2 - 4(3m + 4) = 0 $，即 $ m^2 - 3m - 4 = 0 $，$ \therefore m = -1 $ 或 $ m = 4 $。
(2) 由题意得 $ \begin{cases} \Delta = 4m^2 - 4(3m + 4) ＞ 0 \\ -m ＞ -1 \\ f(-1) = 1 + m + 4 ＞ 0 \end{cases} $，解得 $ -5 ＜ m ＜ -1 $。
$ \therefore m $ 的取值范围是 $ (-5, -1) $
[归纳提升] 解决一元二次方程根的分布问题，要利用数形结合，结合判别式、对称轴、区间端点的函数值的正负等情况进行求解。

1. (多选题)(2025·全国高一课时练习)钟表在我们的生活中随处可见,高一某班的同学们在学习了“任意角和弧度制”后,对钟表的运行产生了浓厚的兴趣,并展开了激烈的讨论,若将时针与分针视为两条线段,则下列说法正确的是（ ）

A.小赵同学说:“经过了 5 h,时针转了$-\frac{5\pi}{6}$.”
B.小钱同学说:“经过了 40 min,分针转了$-\frac{7\pi}{6}$.”
C.小孙同学说:“当时钟显示的时刻为 12:35 时,时针与分针所夹的钝角为$\frac{67\pi}{72}$.”
D.小李同学说:“时钟的时针与分针一天之内会重合 22 次.”

答案： 1.ACD 经过了5h，时针转过的角度对应的弧度数为$-5 × \frac{2\pi}{12}=-\frac{5\pi}{6}$，故A正确.经过了40min，分针转过的角度对应的弧度数为$-8 × \frac{2\pi}{12}=-\frac{4\pi}{3}$，故B错误.时钟显示的时刻为12:35，该时刻的时针与分针所夹的钝角为$5 × \frac{2\pi}{12}+\frac{7}{12} × \frac{2\pi}{12} = \frac{67\pi}{72}$，故C正确.分针比时针多走一圈便会重合一次，设分针走了$t$min，第$n$次和时针重合，则$\frac{2\pi}{60} · t - \frac{2\pi}{12 × 60} · t = 2\pi n$，得$n = \frac{11}{720} t(0 \leq t \leq 1440)$，故$n_{max} = \frac{11}{720} × 1440 = 22$，故D正确.故选：ACD.

2. (2025·全国·高一专题练习)亲爱的考生,我们数学考试完整的时间是 2 小时,则从考试开始到结束,钟表的分针转过的弧度数为__________.

答案： 2.解析：因为钟表的分针转了两圈，且是按顺时针方向旋转，所以钟表的分针转过的弧度数为$-4\pi$.故答案为：$-4\pi$.
答案：$-4\pi$

3. (多选题)(2025·全国·高一课堂例题)与$-457^{\circ}$角终边相同的角的集合是（ ）

A.$\{\alpha|\alpha = k· 360^{\circ}-457^{\circ},k\in\mathbf{Z}\}$
B.$\{\alpha|\alpha = k· 360^{\circ}+97^{\circ},k\in\mathbf{Z}\}$
C.$\{\alpha|\alpha = k· 360^{\circ}+263^{\circ},k\in\mathbf{Z}\}$
D.$\{\alpha|\alpha = k· 360^{\circ}-263^{\circ},k\in\mathbf{Z}\}$

答案： 3.AC 与$-457^{\circ}$终边相同的角可写为：$\alpha = k · 360^{\circ} - 457^{\circ}(k \in \mathbf{Z})$，$\because 97^{\circ} \neq k · 360^{\circ} - 457^{\circ}(k \in \mathbf{Z})$，$263^{\circ} = 2 × 360^{\circ} - 457^{\circ}$，$\therefore -263^{\circ} \neq k · 360^{\circ} - 457^{\circ}(k \in \mathbf{Z})$，$\therefore$与$-457^{\circ}$角终边相同的角的集合为：$\{\alpha \mid \alpha = k · 360^{\circ} - 457^{\circ},k \in \mathbf{Z}\}$，A正确；$\{\alpha \mid \alpha = k · 360^{\circ} + 263^{\circ},k \in \mathbf{Z}\}$，C正确.故选：AC.

4. (2025·全国·高一专题练习)集合$\{\alpha|k\pi+\frac{\pi}{4}\leqslant\alpha\leqslant k\pi+\frac{\pi}{2},k\in\mathbf{Z}\}$中的角所表示的范围(阴影部分)是（ ）

答案： 4.C 当$k = 2n(n \in \mathbf{Z})$时，$2n\pi + \frac{\pi}{4} \leq \alpha \leq 2n\pi + \frac{\pi}{2}$，$n \in \mathbf{Z}$，此时$\alpha$表示的范围与$\frac{\pi}{4} \leq \alpha \leq \frac{\pi}{2}$表示的范围一样；当$k = 2n + 1(n \in \mathbf{Z})$时，$2n\pi + \pi + \frac{\pi}{4} \leq \alpha \leq 2n\pi + \pi + \frac{\pi}{2}$，$n \in \mathbf{Z}$，此时$\alpha$表示的范围与$\frac{\pi}{4} + \pi \leq \alpha \leq \frac{\pi}{2} + \pi$表示的范围一样，故选：C.

5. (2025·天津武清·质量检测)$\frac{5\pi}{12}$化为角度是（ ）

A.$60^{\circ}$
B.$75^{\circ}$
C.$115^{\circ}$
D.$135^{\circ}$

答案： 5.B $\frac{5\pi}{12} = \frac{5}{12} × 180^{\circ} = 75^{\circ}$.故选：B.

6. (多选题)(2025·全国·高一课堂例题)下列各角中,与角$495^{\circ}$终边相同的角为（ ）

A.$\frac{3\pi}{4}$
B.$-\frac{5\pi}{4}$
C.$-\frac{9\pi}{4}$
D.$\frac{13\pi}{4}$

答案： 6.AB 对于A，$495^{\circ} = 360^{\circ} + 135^{\circ}$，$135^{\circ} = \frac{3\pi}{4}$，故A正确；对于B，与$\frac{3\pi}{4}$终边相同的角为$\alpha = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi$，$k \in \mathbf{Z}$，当$k = -1$时，$\alpha = -\frac{5\pi}{4}$，故B正确；对于C，令$\frac{3\pi}{4} + 2k\pi = -\frac{9\pi}{4}$，解得$k = -\frac{3}{2} \notin \mathbf{Z}$，故C错误；对于D，令$\frac{3\pi}{4} + 2k\pi = \frac{13\pi}{4}$，解得$k = \frac{5}{4} \notin \mathbf{Z}$，故D错误.故选：AB.