《2026年优选课堂必刷题高一数学全一册人教版》

[例]（江西省赣州市质量检测）幂函数$ f(x) = (m^2 - 2m - 2)x^{2m - 1} $在$ (0, +\infty) $上为减函数，则$ m $的值为______.

答案： [解析] 由函数$ f(x) = (m^2 - 2m - 2)x^{2m - 1} $是幂函数，则$ m^2 - 2m - 2 = 1 $，解得$ m = -1 $或$ m = 3 $；当$ m = -1 $时，$ f(x) = x^{-3} $，在$ (0, +\infty) $上为减函数，满足题意；当$ m = 3 $时，$ f(x) = x^5 $，在$ (0, +\infty) $上为增函数，不合题意. 故答案为：-1.
[答案] -1

[例 1]（2025·课时练习）已知幂函数$ f(x) = x^{m^2 - 2m - 3} $（$ m $为正整数）的图象关于$ y $轴对称，且在$ (0, +\infty) $上是严格减函数，求满足$ (a + 1)^{-\frac{m}{3}} ＞ (3 - 2a)^{-\frac{m}{3}} $的实数$ a $的取值范围.

答案： [解] 因为函数$ f(x) $在$ (0, +\infty) $上是严格减函数，所以$ m^2 - 2m - 3 ＜ 0 $，解得$ -1 ＜ m ＜ 3 $. 由$ m $为正整数，则$ m = 1 $或$ m = 2 $，又函数$ f(x) $的图象关于$ y $轴对称，得$ f(x) $是偶函数，而当$ m = 2 $时，$ 2^2 - 2 × 2 - 3 = -3 $，$ f(x) = x^{-3} $为奇函数，不符题意，当$ m = 1 $时，$ 1^2 - 2 × 1 - 3 = -4 $，$ f(x) = x^{-4} $为偶函数，于是$ m = 1 $. 因为$ y = x^{-\frac{1}{3}} $为奇函数，在$ (-\infty, 0) $与$ (0, +\infty) $上均为严格减函数，所以$ (a + 1)^{-\frac{1}{3}} ＞ (3 - 2a)^{-\frac{1}{3}} $等价于$ a + 1 ＜ 3 - 2a ＜ 0 $或$ 3 - 2a ＞ a + 1 ＞ 0 $或$ a + 1 ＞ 0 ＞ 3 - 2a $，解得$ -1 ＜ a ＜ \frac{2}{3} $或$ a ＞ \frac{3}{2} $，故实数$ a $的取值范围为$ (-1, \frac{2}{3}) \cup (\frac{3}{2}, +\infty) $.

1. (2025·全国·高一假期作业)二次根式$\sqrt{x^{2}}=-x$成立的条件是（ ）

A.$x＞0$
B.$x\neq0$
C.$x\leqslant0$
D.$x$是任意实数

答案： 1.C 因为$\sqrt{x^2}=|x|=-x$，所以$x\leqslant0$.故选：C.

2. (2025·江苏·高一假期作业)化简$\sqrt[4]{m^{6}}(m＜0)$的结果为（ ）

A.$m\sqrt{m}$
B.$m\sqrt{-m}$
C.$-m\sqrt{m}$
D.$-m\sqrt{-m}$

答案： 2.D $\because m＜0$，$\therefore\sqrt[6]{m^6}=\sqrt{(-m)^3}=-m\sqrt{-m}$.故选：D.

3. (2025·江苏·高一假期作业)若$a=\sqrt[3]{(3-\pi)^{3}}$，$b=\sqrt[4]{(2-\pi)^{4}}$，则$a+b$的值为（ ）

A.$1$
B.$5$
C.$-1$
D.$2\pi - 5$

答案： 3.A 依题意，$a=\sqrt[3]{(3-\pi)^3}=3-\pi$，$b=\sqrt[4]{(2-\pi)^4}=|2-\pi|$
$=\pi-2$，则$a+b=(3-\pi)+(\pi-2)=1$，所以$a+b$的值为$1$.
故选：A.

4. (2025·江苏·高一假期作业)当$\sqrt{2 - x}$有意义时，化简$\sqrt{x^{2}-4x + 4}-\sqrt{x^{2}-6x + 9}$的结果是（ ）

A.$2x - 5$
B.$-2x - 1$
C.$-1$
D.$5 - 2x$

答案： 4.C 因为$\sqrt{2-x}$有意义，可得$2-x\geqslant0$，即$x\leqslant2$，又由
$\sqrt{x^2-4x+4}-\sqrt{x^2-6x+9}=\sqrt{(x-2)^2}-\sqrt{(x-3)^2}=$
$|x-2|-|x-3|=2-x-(3-x)=-1$.故选：C.