《2026年优选课堂必刷题高一数学全一册人教版》

[例] 已知$\sin\alpha$是方程$5x^{2}-7x - 6 = 0$的根，$\alpha$是第三象限角，求$\frac{\sin(-\alpha-\frac{3}{2}\pi)\cos(\frac{3}{2}\pi-\alpha)}{\cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)\sin(\frac{\pi}{2}+\alpha)}·\tan^{2}(\pi-\alpha)$的值。

答案： [解] 方程$5x^{2}-7x - 6 = 0$的两根为$x_{1}=-\frac{3}{5}$，$x_{2}=2$，因为$-1\leqslant\sin\alpha\leqslant1$，所以$\sin\alpha=-\frac{3}{5}$。又$\alpha$是第三象限角，所以$\cos\alpha=-\frac{4}{5}$，$\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{3}{4}$，
所以
$\frac{\sin(-\alpha-\frac{3}{2}\pi)\cos(\frac{3}{2}\pi-\alpha)}{\cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)\sin(\frac{\pi}{2}+\alpha)}·\tan^{2}(\pi-\alpha)$
$=\frac{\sin(\frac{\pi}{2}-\alpha)\cos(\frac{\pi}{2}+\alpha)}{\sin\alpha\cos\alpha}·\tan^{2}\alpha$
$=\frac{\cos\alpha(-\sin\alpha)}{\sin\alpha\cos\alpha}·\tan^{2}\alpha$
$=-\tan^{2}\alpha=-\frac{9}{16}$。

[例] (1)已知$\cos31^{\circ}=m$，则$\sin239^{\circ}\tan149^{\circ}$的值是（ ）
A.$\frac{1 - m^{2}}{m}$
B.$\sqrt{1 - m^{2}}$
C.$-\frac{1 - m^{2}}{m}$
D.$-\sqrt{1 - m^{2}}$

答案：
(1) [解析] $\sin239^{\circ}\tan149^{\circ}=\sin(180^{\circ}+59^{\circ})·\tan(180^{\circ}-31^{\circ})=-\sin59^{\circ}(-\tan31^{\circ})=-\sin(90^{\circ}-31^{\circ})·(-\tan31^{\circ})=-\cos31^{\circ}·(-\tan31^{\circ})=\sin31^{\circ}=\sqrt{1-\cos^{2}31^{\circ}}=\sqrt{1 - m^{2}}$。
[答案] B

(2)已知$\cos(60^{\circ}+\alpha)=\frac{1}{3}$，且$-180^{\circ}\lt\alpha\lt-90^{\circ}$，则$\cos(30^{\circ}-\alpha)$的值为（ ）
A.$-\frac{2\sqrt{2}}{3}$
B.$\frac{2\sqrt{2}}{3}$
C.$-\frac{\sqrt{2}}{3}$
D.$\frac{\sqrt{2}}{3}$

答案：
(2)[解析] 由$-180^{\circ}\lt\alpha\lt-90^{\circ}$，得$-120^{\circ}\lt60^{\circ}+\alpha\lt-30^{\circ}$。又$\cos(60^{\circ}+\alpha)=\frac{1}{3}\gt0$，所以$-90^{\circ}\lt60^{\circ}+\alpha\lt-30^{\circ}$，即$-150^{\circ}\lt\alpha\lt-90^{\circ}$，所以$120^{\circ}\lt30^{\circ}-\alpha\lt180^{\circ}$，$\cos(30^{\circ}-\alpha)\lt0$，所以$\cos(30^{\circ}-\alpha)=\sin(60^{\circ}+\alpha)=-\sqrt{1-\cos^{2}(60^{\circ}+\alpha)}=-\sqrt{1 - (\frac{1}{3})^{2}}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$。
[答案] A