《2026年优选课堂必刷题高一数学全一册人教版》

7. 已知$\alpha$为第二象限角，且$\sin\alpha=\frac{3}{5}$，则$\tan(\pi+\alpha)$的值是（ ）

A.$\frac{4}{3}$
B.$\frac{3}{4}$
C.$-\frac{4}{3}$
D.$-\frac{3}{4}$

答案： 7.D

8. (2025·江西·赣州市第三中学校联考)已知函数$f(x)=a^{x - 2}+2(a\gt0$且$a\neq1)$的图象过定点$P$，且角$\alpha$的始边与$x$轴的正半轴重合，终边过点$P$，则$\frac{\cos(\frac{11\pi}{2}-\alpha)\sin(\frac{9\pi}{2}+\alpha)}{\sin^{2}(-\pi-\alpha)}$等于（ ）

A.$-\frac{2}{3}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{3}{2}$
D.$-\frac{3}{2}$

答案： 8.A

9. (2025·江苏·淮阴中学校联考)若$\triangle ABC$的内角$A,B,C$满足$\sin A=\cos B=\tan C$，则$A$与$B$的关系为（ ）

A.$A - B=\frac{\pi}{2}$
B.$A + B=\frac{\pi}{2}$
C.$B - A=\frac{\pi}{2}$
D.$A + B=\frac{\pi}{3}$

答案： 9.A

10. 若角$A,B,C$是$\triangle ABC$的三个内角，则下列等式中一定成立的是（ ）

A.$\cos(A + B)=\cos C$
B.$\sin(A + B)=-\sin C$
C.$\cos\frac{A + C}{2}=\sin B$
D.$\sin\frac{B + C}{2}=\cos\frac{A}{2}$

答案： 10.D

11. $\sin(\pi+\theta)=\frac{4}{5}$，$\sin(\frac{\pi}{2}+\theta)=\frac{3}{5}$，则$\theta$角的终边在第______象限。

答案： 11.解析：因为$\sin(\pi+\theta)=\frac{4}{5}$，所以$\sin \theta=-\frac{4}{5}＜0$，因为
$\sin\left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)=\frac{3}{5}$，所以$\cos \theta=\frac{3}{5}＞0$，
所以$\theta$角的终边在第四象限.
答案：四

12. 已知角$\alpha$终边上一点$P(-4,3)$，则$\frac{\cos(\frac{\pi}{2}+\alpha)\sin(-\pi-\alpha)}{\cos(\frac{11\pi}{2}-\alpha)\sin(\frac{9\pi}{2}+\alpha)}$的值为______。

答案： 12.解析：因为角$\alpha$的终边过点$P(-4,3)$，所以$\tan \alpha=-\frac{3}{4}$
则$\frac{\cos\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)\sin(-\pi-\alpha)}{\cos\left(\frac{11\pi}{2}-\alpha\right)\sin\left(\frac{9\pi}{2}+\alpha\right)}=$
$\frac{-\sin \alpha · \sin \alpha}{-\sin \alpha · \cos \alpha}=\frac{\sin^{2} \alpha}{\sin \alpha\cos \alpha}=\tan \alpha=-\frac{3}{4}$.
答案：$-\frac{3}{4}$

13. 已知锐角$\alpha$终边上一点$A$的坐标为$(2\sin3,-2\cos3)$，则角$\alpha$的弧度数为______。

答案： 13.解析：$\begin{cases} \sin \alpha=-\cos 3,\\3\in\left(\frac{\pi}{2},\pi\right),\end{cases}$
$\therefore \sin 3＞0,\cos 3＜0$.即$\alpha$的终边在第一象限.
$\therefore \cos \alpha=\cos\left(\frac{\pi}{2}-3\right)=\cos\left(3-\frac{\pi}{2}\right)$.
又$\because3-\frac{\pi}{2}\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right),\therefore\alpha=3-\frac{\pi}{2}$.
答案：$3-\frac{\pi}{2}$

14. (2025·河南驻马店·高一质量检测)(1)已知$\frac{1}{|\sin\alpha|}=-\frac{1}{\sin\alpha}$且$\lg(\cos\alpha)$有意义，若角$\alpha$的终边与单位圆相交于点$M(\frac{3}{5},m)$，求$m$的值及$\sin\alpha$的值；
(2)是否存在角$\alpha\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$，$\beta\in(0,\pi)$，使等式$\begin{cases}\sin(3\pi-\alpha)=\sqrt{2}\cos(\frac{\pi}{2}-\beta)\\\sqrt{3}\cos(-\alpha)=-\sqrt{2}\cos(\pi+\beta)\end{cases}$同时成立。若存在，求出$\alpha,\beta$的值；若不存在，说明理由。(注：对任意角$x$，有$\sin^{2}x+\cos^{2}x=1$成立)

答案： 14.解：
(1)因为$\frac{1}{|\sin \alpha|}=-\frac{1}{\sin \alpha}$，所以$\sin \alpha＜0$，
所以$\alpha$是第三或第四象限角或$y$轴的非正半轴上的角，
因为$\lg(\cos \alpha)$有意义，所以$\cos \alpha＞0$，
所以$\alpha$是第一或第四象限或$x$轴的非负半轴上的角，
综上可知，角$\alpha$是第四象限角，
因为点$M(\frac{3}{5},m)$在单位圆上，所以$(\frac{3}{5})^{2}+m^{2}=1$，解得$m$
$=\pm\frac{4}{5}$，又$\alpha$是第四象限角，故$m＜0$，从而$m=-\frac{4}{5}$，根据
正弦函数的定义，可知$\sin \alpha=-\frac{4}{5}$；
(2)因为等式$\frac{\sin(3\pi-\alpha)=\sqrt{2}\cos\left(\frac{\pi}{2}-\beta\right)}{\sqrt{3}\cos(-\alpha)=-\sqrt{2}\cos(\pi+\beta)}$同时成立，利用
诱导公式化简得$\begin{cases} \sin \alpha=\sqrt{2}\sin \beta,\\\sqrt{3}\cos \alpha=\sqrt{2}\cos \beta,\end{cases}$两式平方后相加得
$\sin^{2} \alpha+3\cos^{2} \alpha=2$，因为$\sin^{2} \alpha+\cos^{2} \alpha=1$，所以可得$\cos^{2} \alpha=$
$\frac{1}{2}$，即$\cos \alpha=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$，因为$\alpha \in \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$，所以$\alpha=\frac{\pi}{4}$或
$\alpha=-\frac{\pi}{4}$.当$\alpha=\frac{\pi}{4}$时，代入$\sqrt{3}\cos \alpha=\sqrt{2}\cos \beta$得$\cos \beta=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又$\beta \in (0,\pi)$，所以$\beta=\frac{\pi}{6}$，此时也符合等式$\sin \alpha=\sqrt{2}\sin \beta$；
当$\alpha=-\frac{\pi}{4}$时，代入$\sqrt{3}\cos \alpha=\sqrt{2}\cos \beta$得$\cos \beta=\frac{\sqrt{3}}{2}$，又$\beta \in (0,\pi)$，所以$\beta=\frac{\pi}{6}$，显然此时不符合等式$\sin \alpha=\sqrt{2}\sin \beta$.综
上所述，存在$\alpha=\frac{\pi}{4},\beta=\frac{\pi}{6}$满足条件.