《2026年优选课堂必刷题高一数学全一册人教版》

4. (2025·高一课时练习)已知幂函数$ y = (m^2 - 3m + 3)x^{m + 1} $的图象关于$ y $轴对称，则$ m $等于（ ）

A.1
B.2
C.1 或 2
D.3

答案： 4.A　由于函数是幂函数，所以$m^{2}-3m + 3 = 1$，解得$m = 1$或$m = 2$.当$m = 1$时，$y = x^{2}$，是偶函数，图象关于$y$轴对称，符合题意.当$m = 2$时，$y = x^{3}$，是奇函数，图象不关于$y$轴对称，不符合题意.所以$m$的值为$1$.故选：A

5. (2025·浙江杭州长河高级中学质量检测)已知幂函数$ f(x) = (n^2 + 2n - 2) · x^{n^2 - 2n} $在$ (0, +\infty) $上是减函数，则$ n $的值为（ ）

A.-3
B.1
C.3
D.1 或 -3

答案： 5.B　因为函数$f(x)$是幂函数，则$n^{2}+2n - 2 = 1$，所以$n = - 3$或$n = 1$.当$n = - 3$时，$f(x)=x^{15}$在$(0,+\infty)$上是增函数，不合题意.当$n = 1$时，$f(x)=x^{-1}$在$(0,+\infty)$上是减函数，成立.故选：B.

6. (2025·高一课时练习)已知函数：①$ y = x^{-2} $，②$ y = x^{\frac{4}{3}} $，③$ y = x^{\frac{3}{5}} $，④$ y = x^{-\frac{4}{5}} $，既是偶函数，又在$ (-\infty, 0) $上为增函数的是______.

答案： 6.解析：对于①$y = x^{-2}$，设$f(x)=x^{-2}$，定义域为$\{x\in\mathbf{R}\mid x\neq0\}$，满足$f(-x)=(-x)^{-2}=f(x)$，故$y = x^{-2}$为偶函数，又$y = \frac{1}{x^{2}}$，在$(-\infty,0)$上为增函数，符合题意；对于②，$y = x^{\frac{1}{3}}=(x^{4})^{\frac{1}{3}}$定义域为$\mathbf{R}$，且为偶函数，在$(0,+\infty)$上为增函数，故在$(-\infty,0)$上为减函数，不符题意；对于③$y = x^{\frac{4}{5}}$，定义域为$\mathbf{R}$，设$g(x)=x^{\frac{4}{5}}$，则$g(-x)=(-x)^{\frac{4}{5}}=-g(x)$，故$y = x^{\frac{4}{5}}$为奇函数，不符题意；对于④$y = x^{-\frac{4}{5}}$，定义域为$\{x\in\mathbf{R}\mid x\neq0\}$，设$F(x)=x^{-\frac{4}{5}}$，满足$F(-x)=(-x)^{-\frac{4}{5}}=F(x)$，故$y = x^{-\frac{4}{5}}$为偶函数，在$(0,+\infty)$上为减函数，故在$(-\infty,0)$上为增函数，符合题意.故答案为：①④
答案：①④

7. (2025·高一课时练习)已知$ f(x) = \frac{1}{x^2} $，若$ 0 ＜ a ＜ b ＜ 1 $，则下列各式中正确的是（ ）

A.$ f(a) ＜ f(b) ＜ f(\frac{1}{a}) ＜ f(\frac{1}{b}) $
B.$ f(\frac{1}{a}) ＜ f(\frac{1}{b}) ＜ f(b) ＜ f(a) $
C.$ f(a) ＜ f(b) ＜ f(\frac{1}{b}) ＜ f(\frac{1}{a}) $
D.$ f(\frac{1}{a}) ＜ f(a) ＜ f(\frac{1}{b}) ＜ f(b) $

答案： 7.B　$f(x)=\frac{1}{x^{2}}=x^{-2}$在$(0,+\infty)$上单调递减，$0 ＜ a ＜ b ＜ 1$，故$0 ＜ a ＜ b ＜ 1＜\frac{1}{b}＜\frac{1}{a}$，故$f(\frac{1}{a})＜f(\frac{1}{b})＜f(b)＜f(a)$.故选：B.

8. (2025·全国·专题练习)函数$ f(x) = \frac{x^{\frac{1}{3}} - x^{-1}}{|x|} $的图象大致为（ ）

答案： 8.B　由$f(1)=0$，排除A，D.当$x ＞ 1$时，$x^{\frac{1}{3}}-x^{-1}＞0$，所以$f(x)＞0$，排除C.故选：B.

9. (2025·四川成都·石室中学校考模拟预测)幂函数$ f(x) = (m^2 - 3m - 3)x^m $在区间$ (0, +\infty) $上单调递减，则下列说法正确的是（ ）

A.$ m = 4 $
B.$ f(x) $是减函数
C.$ f(x) $是奇函数
D.$ f(x) $是偶函数

答案： 9.C　函数$f(x)=(m^{2}-3m - 3)x^{m}$为幂函数，则$m^{2}-3m - 3 = 1$，解得$m = 4$或$m = - 1$.当$m = 4$时，$f(x)=x^{4}$在区间$(0,+\infty)$上单调递增，不满足条件，排除A；当$m = - 1$时，$f(x)=x^{-1}$在区间$(0,+\infty)$上单调递减，满足题意.函数$f(x)=x^{-1}$在$(-\infty,0)$和$(0,+\infty)$上单调递减，但不是减函数，排除B；因为函数定义域关于原点对称，且$f(-x)=\frac{1}{-x}=-\frac{1}{x}=-f(x)$，所以函数$f(x)$是奇函数，不是偶函数，故C正确，D错误.故选：C.

10. (2025·全国·专题练习)已知幂函数$ f(x) = x^a $的图象过点$ (8, 4) $，则$ f(x) = x^a $的值域是（ ）

A.$ (-\infty, 0) $
B.$ (-\infty, 0) \cup (0, +\infty) $
C.$ (0, +\infty) $
D.$ 0, +\infty) $

答案： 10.D　$\because$幂函数$f(x)=x^{\alpha}$的图象过点$(8,4)$，$\therefore8^{\alpha}=4$，解得$\alpha=\frac{2}{3}$，$\therefore f(x)=x^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{x^{2}}\geqslant0$，$\therefore f(x)$的值域是$[0,+\infty)$.故选：D.

11. (2025·安徽·高一校联考质量检测)若幂函数$ f(x) = (m^2 - 2m - 2)x^{m^2 - 4m + 1} $在区间$ (0, +\infty) $上单调递减，则$ m = $（ ）

A.3
B.1
C.-1 或 3
D.1 或 -3

答案： 11.A　因为函数$f(x)=(m^{2}-2m - 2)x^{m^{2}-4m + 1}$为幂函数，且在区间$(0,+\infty)$上单调递减，所以$m^{2}-2m - 2 = 1$且$m^{2}-4m + 1＜0$，又$m^{2}-2m - 3 = 0$，可得$m = - 1$或$m = 3$.当$m = - 1$时，满足$m^{2}-4m + 1＞0$，舍去；当$m = 3$时，满足$m^{2}-4m + 1＜0$.综上$m = 3$.故选：A.

12. (2025·河南许昌·质量检测)已知函数$ f(x) = (m^2 + m - 1)x^m $是幂函数，且在$ (0, +\infty) $上是增函数，则实数$ m $的值为______.

答案： 12.解析：因为函数$f(x)=(m^{2}+m - 1)x^{m}$是幂函数，则$m^{2}+m - 1 = 1$，解得$m = - 2$或$m = 1$，又因为$f(x)$在$(0,+\infty)$上是增函数，所以$m＞0$，所以$m = 1$.故答案为：1
　答案：1

13. (2025·高一课时练习)幂函数$ f(x) = (m^2 - 3m + 3)x^{m^2 - 6m + 6} $在$ (0, +\infty) $上单调递减，则$ m $的值为______.

答案： 13.解析：因为函数$f(x)=(m^{2}-3m + 3)x^{m^{2}-6m + 6}$是幂函数，则有$m^{2}-3m + 3 = 1$，解得$m = 1$或$m = 2$，当$m = 1$时，函数$f(x)=x$在$(0,+\infty)$上单调递增，不符合题意，当$m = 2$时，函数$f(x)=x^{-2}$在$(0,+\infty)$上单调递减，符合题意.所以$m$的值为$m = 2$，故答案为：2
　答案：2

14. (2025·高一单元测试)已知幂函数$ f(x) = (m^2 - 5m + 7)x^{-m - 1} $（$ m \in \mathbf{R} $）为奇函数.
(1)求$ f(\frac{1}{2}) $的值；
(2)若$ f(2a + 1) ＞ f(a) $，求实数$ a $的取值范围.

答案： 14.解：
(1)由$m^{2}-5m + 7 = 1$，得$m = 2$或$m = 3$，当$m = 2$时，$f(x)=x^{-3}$是奇函数，满足题意，当$m = 3$时，$f(x)=x^{-4}$是偶函数，不满足题意，所以$f(x)=x^{-3}$，$f(\frac{1}{2})=(\frac{1}{2})^{-3}=8$；
(2)因为$f(x)=x^{-3}$的定义域为$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$，单调减区间为$(-\infty,0)$，$(0,+\infty)$，由$f(2a + 1)＞f(a)$，可得$2a + 1＜a＜0$或$0＜2a + 1＜a$或$2a + 1＞0＞a$，解得$a＜ - 1$或$-\frac{1}{2}＜a＜0$，所以实数$a$的取值范围为$a＜ - 1$或$-\frac{1}{2}＜a＜0$.