《2026年优选课堂必刷题高一数学全一册人教版》

6. (2025·辽宁沈阳·统考质量检测)不等式$ax^{2}-(a + 2)x + 2 \geq 0(a ＜ 0)$的解集为（ ）

A.$\{ x|\frac {2}{a} \leq x \leq 1\}$
B.$\{ x|1 \leq x \leq \frac {1}{a}\}$
C.$\{ x|x \leq \frac {2}{a}$，或$x \geq 1\}$
D.$\{ x|x \leq 1$，或$x \geq \frac {2}{a}\}$

答案： 6.A 原不等式可以转化为：$(x - 1)(ax - 2)\geq0$，当$a＜0$时，可知$\left(x-\frac{2}{a}\right)(x - 1)\leq0$，对应的方程的两根为$1,\frac{2}{a}$，根据一元二次不等式的解集的特点，可知不等式的解集为：$[\frac {2}{a},1]$。

7. (2025·全国·专题练习)不等式$\frac {1 - x}{2 + x} \geq 0$的解集为（ ）

A.$\{ x|-2 \leq x \leq 1\}$
B.$\{ x|x ＜ -2$，或$x \geq 1\}$
C.$\{ x|-2 ＜ x \leq 1\}$
D.$\{ x|x \leq -2$，或$x \geq 1\}$

答案： 7.C 原不等式可化为$\begin{cases}(1 - x)(x + 2)\geq0\\2 + x\neq0\end{cases}$，即$\begin{cases}(x - 1)(x + 2)\leq0\\2 + x\neq0\end{cases}$，解得$-2＜x\leq1$.故选：C.

8. (2025·全国·专题练习)不等式$\frac {x + 2}{x - 1} ＞ 2$的解集为______。

答案： 8.解析：原不等式可化为$\frac{x + 2}{x - 1}-2＞0$，即$\frac{(x + 2)-2(x - 1)}{x - 1}＞0$，即$\frac{4 - x}{x - 1}＞0$，即$(x - 1)(x - 4)＜0$，解得$1＜x＜4$，$\therefore$原不等式的解集为$\{x\mid1＜x＜4\}$，故答案为：$\{x\mid1＜x＜4\}$.

9. (2025·全国·专题练习)某小型服装厂生产一种风衣，日销售量$x$（件）与单价$P$（元）之间的关系为$P = 160 - 2x$，生产$x$件所需成本为$C$（元），其中$C = 500 + 30x$元，若要求每天获利不少于$1300$元，则日销量$x$的取值范围是（ ）

A.$20 \leq x \leq 30$
B.$20 \leq x \leq 45$
C.$15 \leq x \leq 30$
D.$15 \leq x \leq 45$

答案： 9.B 设该厂每天获得的利润为$y$元，则$y=(160 - 2x)x-(500 + 30x)=-2x^{2}+130x - 500(0＜x＜80)$.由题意，知$-2x^{2}+130x - 500\geq1300$，即$x^{2}-65x + 900\leq0$，解得：$20\leq x\leq45$，所以日销量$x$的取值范围是$20\leq x\leq45$.故选：B.

10. (2025·辽宁丹东·统考质量检测)不等式$\frac {3}{x + 2} ＞ 1$的解集为（ ）

A.$\{ x|x ＜ 1$，且$x \neq -2\}$
B.$\{ x|x ＞ 1\}$
C.$\{ x|-2 ＜ x ＜ 1\}$
D.$\{ x|x ＜ -2$，或$x ＞ 1\}$

答案： 10.C 不等式$\frac{3}{x + 2}＞1$等价于$\frac{x - 1}{x + 2}＜0$，等价于$(x - 1)(x + 2)＜0$，解集为$\{x\mid-2＜x＜1\}$.故选：C.

11. (2025·山东滨州·质量检测)若不等式$ax^{2}+bx + 6 ＞ 0$的解集为$\{ x|x ＜ -3$，或$x ＞ -2\}$，则（ ）

A.$a = 1$，$b = -5$
B.$a = -1$，$b = 5$
C.$a = -1$，$b = -5$
D.$a = 1$，$b = 5$

答案： 11.D 因为不等式$ax^{2}+bx + 6＞0$的解集为$\{x\mid x＜-3或x＞-2\}$，所以$x = -3$和$x = -2$时，$ax^{2}+bx + 6 = 0$，即$9a-3b + 6 = 0$，$4a-2b + 6 = 0$，解得$a = 1$，$b = 5$，故选：D.

12. (多选题)(2025·江苏盐城·江苏省响水中学质量检测)“关于$x$的不等式$ax^{2}-4ax + 4 ＞ 0$对$\forall x \in R$恒成立”的一个充分不必要条件是（ ）

A.$0 ＜ a ＜ \frac {1}{3}$
B.$0 ＜ a ＜ 1$
C.$0 \leq a ＜ 1$
D.$a \geq 0$

答案：
12.AB 当a = 0时，4＞0对$\forall x\in R$恒成立，符合题意；当$a\neq0$时，，解得0＜a＜1，综上，实数a取值范围是0,1).所以“0＜a＜\frac{1}{3}”是“关于x的不等式ax^{2}-4ax + 4＞0对$\forall x\in R$恒成立”的充分不必要条件，故A正确；“0＜a＜1”是“关于x的不等式ax^{2}-4ax + 4＞0对$\forall x\in R$恒成立”的充分不必要条件，故B正确；$“0\leq a$＜1”是“关于x的不等式$ax^{2}-4ax + 4＞0$对$\forall x\in R$恒成立”的充要条件，故C错误；$“a\geq0”$是“关于x的不等式$ax^{2}-4ax + 4＞0$对$\forall x\in R$恒成立”的必要不充分条件，故D错误.故选：AB.

13. (2025·山东滨州·质量检测)若不等式$x^{2}+px + q ＜ 0$的解集是$\{ x|1 ＜ x ＜ 2\}$，则$p - q$的值等于______。

答案： 13.解析：因为不等式$x^{2}+px + q＜0$的解集是$\{x\mid1＜x＜2\}$，所以$x = 1$和$x = 2$时，$x^{2}+px + q = 0$，即$1 + p + q = 0$，$4 + 2p + q = 0$，解得$p = -3$，$q = 2$，所以$p - q = -3 - 2 = -5$，故答案为：$-5$.

14. (2025·上海浦东新·高一质量检测)已知$(1 - a)x^{2}-4x + 6 ＞ 0$的解集为$\{ x|-3 ＜ x ＜ 1\}$。
（1）求实数$a$的值；
（2）若$ax^{2}+bx + 3 \geq 0$恒成立，求实数$b$的取值范围。

答案： 14.解：
(1)因为$(1 - a)x^{2}-4x + 6＞0$的解集为$\{x\mid-3＜x＜1\}$，所以$1 - a＜0$而且$(1 - a)x^{2}-4x + 6 = 0$的两根为$-3$和$1$，$\begin{cases}1 - a＜0\\-3 + 1=\frac{4}{1 - a}\end{cases}$，所以$a = 3$.
(2)因为$ax^{2}+bx + 3\geq0$恒成立，即$3x^{2}+bx + 3\geq0$恒成立，所以$\Delta=b^{2}-36\leq0$，解得$-6\leq b\leq6$，所以实数$b$的取值范围为$[-6,6]$，即$[-6,6]$.

[例] (2025·全国·专题练习)解关于$x$的不等式$ax^{2}-(a + 1)x + 1 ＜ 0(a \in R)$。

答案： [解] 原不等式变为$(ax - 1)(x - 1) ＜ 0$，
①当$a ＞ 0$时，原不等式可化为$(x - \frac {1}{a})(x - 1) ＜ 0$，所以当$a ＞ 1$时，解得$\frac {1}{a} ＜ x ＜ 1$；当$a = 1$时，解集为$\varnothing$；当$0 ＜ a ＜ 1$时，解得$1 ＜ x ＜ \frac {1}{a}$。②当$a = 0$时，原不等式等价于$-x + 1 ＜ 0$，即$x ＞ 1$。③当$a ＜ 0$时，$\frac {1}{a} ＜ 1$，原不等式可化为$(x - \frac {1}{a})(x - 1) ＞ 0$，解得$x ＞ 1$或$x ＜ \frac {1}{a}$。综上，当$0 ＜ a ＜ 1$时，不等式的解集为$\{ x|1 ＜ x ＜ \frac {1}{a}\}$，当$a = 1$时，不等式的解集为$\varnothing$，当$a ＞ 1$时，不等式的解集为$\{ x|\frac {1}{a} ＜ x ＜ 1\}$，当$a = 0$时，不等式的解集为$\{ x|x ＞ 1\}$，当$a ＜ 0$时，不等式的解集为$\{ x|x ＜ \frac {1}{a}$，或$x ＞ 1\}$。