《2026年优选课堂必刷题高一数学全一册人教版》

[例2] (2025·高一课时练习)已知集合$A=\{ x∈R|ax^{2}+2x+1=0\}$，其中$a∈R$.
(1)1是$A$中的一个元素，用列举法表示$A$；
(2)若$A$中至多有一个元素，试求$a$的取值范围.

答案： [解]
(1)因为$1∈A$，所以$a+2+1=0$，得$a=-3$，所以$A=\{ x∈R|-3x^{2}+2x+1=0\}=\left\{ -\frac {1}{3},1\right\}$.
(2)当$A$中只有一个元素时，$ax^{2}+2x+1=0$只有一个解，所以$a=0$或$\left\{\begin{array}{l} a≠0\\ \Delta =4-4a=0\end{array}\right.$，
所以$a=0$或$a=1$，当$A$中没有元素时，$ax^{2}+2x+1=0$无解，所以$\left\{\begin{array}{l} a≠0\\ \Delta =4-4a＜0\end{array}\right.$，解得$a＞1$，综上所述：$a=0$或$a≥1$.

1. (2025·宁夏银川·校联考质量检测)下列集合关系中

错

误

的是 ( )

A.$\{(a,b)\}\subseteq \{a,b\}$
B.$\{0,2\}\subseteq \mathbf{Z}$
C.$\varnothing \subseteq \{0\}$
D.$\{0,1\}\subseteq \{1,0\}$

答案： 1.A 对于A：集合$\{(a,b)\}$为点集，含有元素$(a,b)$，集合$\{a,b\}$含有两个元素$a,b$，所以$\{(a,b)\}$不包含于$\{a,b\}$，故A错误；对于B：$\{2\} \subseteq \mathbb{Z}$，故B正确；对于C：$\varnothing \subseteq \{0\}$，故C正确；对于D：因为$\{0,1\} = \{1,0\}$，所以$\{0,1\} \subseteq \{1,0\}$，故D正确. 故选A.

2. (2025·陕西咸阳·统考质量检测)设集合$A=\{x\in {\mathbf{N}}^{*}|-1\lt x\leqslant 3\}$，则集合$A$的真子集个数是 ( )

A.6
B.7
C.8
D.15

答案： 2.B 因为$A = \{x \in \mathbb{N}^* \mid -1 ＜ x \leq 3\}$，所以$A = \{1,2,3\}$，所以集合A的真子集个数是$2^3 - 1 = 7$. 故选B.

3. (多选题)(2025·全国·专题练习)已知集合$A=\{x|-1\leqslant x\leqslant 7\}$，$B=\{x|a+2\leqslant x\leqslant 2a-1\}$，若使$B\subseteq A$成立的实数$a$的取值集合为$M$，则$M$的一个真子集可以是 ( )

A.$\{x|x\leqslant 4\}$
B.$\{x|x\leqslant 3\}$
C.$\{x|3\lt x\leqslant 4\}$
D.$\{x|4\leqslant x\lt 5\}$

答案： 3.BC 由题意集合$A = \{x \mid -1 \leq x \leq 7\}$，$B = \{x \mid a + 2 \leq x \leq 2a - 1\}$，因为$B \subseteq A$，所以当$B = \varnothing$时，$a + 2 ＞ 2a - 1$，即$a ＜ 3$；当$B \neq \varnothing$时，有$-1 \leq a + 2 \leq 2a - 1 \leq 7$，解得$3 \leq a \leq 4$，故$M = (-\infty,4$，则$M$的一个真子集可以是$(-\infty,3$或$(3,4$. 故选BC.

4. (2025·全国·高一专题练习)已知集合$M=\{x|2m\lt x\lt m+1\}$，且$M=\varnothing$，则实数$m$的取值范围是 。

答案： 4.解析：$\because M = \varnothing$，$\therefore 2m \geq m + 1$，$\therefore m \geq 1$. 故答案为$m \geq 1$.

5. (2025·全国·专题练习)已知集合$A=\{0,1,a^{2}\}$，$B=\{1,0,3a-2\}$，若$A=B$，则$a$等于 ( )

A.1 或 2
B.$-1$或$-2$
C.2
D.1

答案： 5.C 因为$A = B$，所以$a^2 = 3a - 2$，解得$a = 1$或$a = 2$. 当$a = 1$时，$a^2 = 1$，与集合元素互异性矛盾，故$a = 1$不正确. 经检验可知$a = 2$符合. 故选C.

6. (2025·吉林·统考模拟预测)已知集合$A=\{x\in \mathbf{N}||x|\lt 2\}$，$B=\{x|ax-1=0\}$，若$B\subsetneqq A$，则实数$a=$ ( )

A.$\frac{1}{2}$或 1
B.0 或 1
C.1
D.$\frac{1}{2}$

答案： 6.B 由集合$A = \{x \in \mathbb{N}^* \mid |x| ＜ 2\} = \{0,1\}$，对于方程$ax - 1 = 0$，当$a = 0$时，此时方程无解，可得集合$B = \varnothing$，满足$B \subsetneqq A$；当$a \neq 0$时，解得$x = \frac{1}{a}$，要使得$B \subsetneqq A$，则满足$\frac{1}{a} = 1$，可得$a = 1$，所以实数$a$的值为$0$或$1$. 故选B.

7. (2025·全国·高一专题练习)给定集合$S=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$，对于$x\in S$，如果$x+1\notin S$，$x-1\notin S$，那么$x$是$S$的一个“好元素”，由$S$的 3 个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有 ______ 个。

答案： 7.解析：若不含好元素，则集合$S$中的$3$个元素必须为连续的三个数，故不含好元素的集合共有$\{1,2,3\}$，$\{2,3,4\}$，$\{3,4,5\}$，$\{4,5,6\}$，$\{5,6,7\}$，$\{6,7,8\}$，共有$6$个. 故答案为$6$.
答案：6

8. (2025·辽宁沈阳·质量检测)下面说法中不正确的为 ( )

A.$\{x|x+y=1\}=\{y|x+y=1\}$
B.$\{(x,y)|x+y=2\}=\{x|x+y=2\}$
C.$\{x|x\gt 2\}=\{y|y\gt 2\}$
D.$\{1,2\}=\{2,1\}$

答案： 8.B 对于A，因$\{x \mid x + y = 1\} = \mathbb{R}$，$\{y \mid x + y = 1\} = \mathbb{R}$，即$\{x \mid x + y = 1\} = \{y \mid x + y = 1\}$，A正确；对于B，因集合$\{(x,y) \mid x + y = 2\}$的元素为有序数对，而$\{x \mid x + y = 2\}$的元
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B不正确；对于C，因集合$\{x \mid x ＞ 2\}$与$\{y \mid y ＞ 2\}$都表示大于$2$的数形成的集合，即$\{x \mid x ＞ 2\} = \{y \mid y ＞ 2\}$，C正确；对于D，由列举法表示集合知$\{1,2\} = \{2,1\}$正确，D正确. 故选B.