《2026年优选课堂必刷题高一数学全一册人教版》

[例] 已知$\sin\theta + \cos\theta =\frac{1}{5},\theta\in(0,\pi)$，求$\sin\theta - \cos\theta,\tan\theta,\sin^{3}\theta + \cos^{3}\theta$的值。

答案： [解] 因为$\sin\theta + \cos\theta =\frac{1}{5},\theta\in(0,\pi)$，所以$1 + 2\sin\theta·\cos\theta =\frac{1}{25}$，所以$2\sin\theta·\cos\theta =-\frac{24}{25}\lt0$。又$\theta\in(0,\pi),\sin\theta\gt0$，所以$\cos\theta\lt0$，所以$\theta\in(\frac{\pi}{2},\pi)$。所以$\sin\theta - \cos\theta\gt0$。因为$(\sin\theta - \cos\theta)^{2}=1 - 2\sin\theta·\cos\theta =1 + \frac{24}{25}=\frac{49}{25}$，所以$\sin\theta - \cos\theta =\frac{7}{5}$，所以$\begin{cases}\sin\theta + \cos\theta =\frac{1}{5},\\\sin\theta - \cos\theta =\frac{7}{5}\end{cases}\Rightarrow$
所以$\tan\theta =\frac{\sin\theta}{\cos\theta}=\frac{\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}}=-\frac{4}{3}$，
$\sin^{3}\theta + \cos^{3}\theta =\frac{37}{125}$。

1. (2025·黑龙江哈尔滨三中质量检测)已知α的终边上有一点$P(1,3)$，则$\cos(\pi+\alpha)$的值为（ ）

A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{\sqrt{10}}{10}$
C.$-\frac{\sqrt{10}}{10}$
D.$-\frac{3\sqrt{10}}{10}$

答案： 1.C

2. (2025·浙江省海盐高级中学校考)已知$\sin(\frac{\pi}{6}+\alpha)=\frac{\sqrt{3}}{3}$，且$\alpha\in(-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4})$，则$\sin(\frac{\pi}{3}-\alpha)=$（ ）

A.$-\frac{\sqrt{3}}{3}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
C.$\frac{\sqrt{2}}{3}$
D.$\frac{\sqrt{6}}{3}$

答案： 2.D

3. 记$\cos(-80^{\circ})=k$，那么$\tan100^{\circ}=$（ ）

A.$\frac{\sqrt{1-k^{2}}}{k}$
B.$-\frac{\sqrt{1-k^{2}}}{k}$
C.$\frac{k}{\sqrt{1-k^{2}}}$
D.$-\frac{k}{\sqrt{1-k^{2}}}$

答案： 3.B

4. 在$\triangle ABC$中，若$\sin(A+B-C)=\sin(A-B+C)$，则$\triangle ABC$必是（ ）

A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰或直角三角形
D.等腰直角三角形

答案： 4.C

5. (2025·安徽省宿松中学校联考)已知在平面直角坐标系中，点$M(2,4)$在角$\alpha$终边上，则$\frac{\sin^{3}(\pi-\alpha)+\cos^{3}(-\alpha)}{\sin^{3}\alpha-2\cos^{3}\alpha}=$（ ）

A.$\frac{2}{3}$
B.$\frac{3}{2}$
C.$-\frac{3}{5}$
D.$-\frac{5}{3}$

答案： 5.B

6. (2025·江西萍乡·高一统考)若$\tan(\frac{\pi}{4}+\alpha)=3$，则$\tan(\frac{\pi}{4}-\alpha)=$______。

答案： 6.解析：由$\tan\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)=3\Rightarrow\frac{\sin\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)}=3$，即$\sin\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)$
$=3\cos\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)$，
$\begin{cases} \sin\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)=\sin\left(\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)\right)=\cos\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right) \\ \cos\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)=\cos\left(\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)\right)=\sin\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right) \end{cases}$
故$\cos\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)=3\sin\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)\Rightarrow\tan\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)=$
$\frac{\sin\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)}=\frac{1}{3}$.故答案为：$\frac{1}{3}$.