《2026年优选课堂必刷题高一数学全一册人教版》

1. (2025·全国·专题练习)下列不等式恒成立的是（ ）

A.$x+\frac{1}{x}\geqslant 2$
B.$a+b\geqslant 2\sqrt{ab}$
C.$(\frac{a+b}{2})^{2}\geqslant \frac{a^{2}+b^{2}}{2}$
D.$a^{2}+b^{2}\geqslant 2ab$

答案： 1.D 对于A选项，当$x＜0$时，不等式显然不成立，故错误；对于B选项，$a + b \geqslant 2\sqrt{ab}$成立的条件为$a\geqslant0$，$b\geqslant0$，故错误；对于C选项，当$a = - b \neq 0$时，不等式显然不成立，故错误；对于D选项，由于$a^{2} + b^{2} - 2ab = (a - b)^{2} \geqslant 0$，故$a^{2} + b^{2} \geqslant 2ab$，正确.故选：D

2. (多选题)(2025·江苏南京·高一南京师大附中质量检测)设$a,b$为正实数，$ab = 4$，则下列不等式中对一切满足条件的$a,b$恒成立的是（ ）

A.$a + b\geqslant 4$
B.$a^{2}+b^{2}\leqslant 8$
C.$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geqslant 1$
D.$\sqrt{a}+\sqrt{b}\leqslant 2\sqrt{2}$

答案： 2.AC A选项，由基本不等式得$a + b \geqslant 2\sqrt{ab} = 4$，当且仅当$a = b = 2$时等号成立，A选项正确.B选项，$a = 1$，$b = 4$时，$ab = 4$，但$a^{2} + b^{2} = 17 ＞ 8$，B选项错误.C选项，由基本不等式得$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geqslant 2\sqrt{\frac{1}{a} · \frac{1}{b}} = 1$，当且仅当$\frac{1}{a} = \frac{1}{b}$，$a = b = 2$时等号成立，C选项正确.D选项，$a = 1$，$b = 4$时，$ab = 4$，但$\sqrt{a} + \sqrt{b} = 3 ＞ 2\sqrt{2}$，D选项错误.故选：AC.

3. (多选题)(2025·广东汕头·高一汕头市聿怀中学质量检测)若$a＞0,b＞0$.且$a + b = 4$，则下列不等式恒成立的是（ ）

A.$0＜\frac{1}{ab}\leqslant \frac{1}{4}$
B.$\sqrt{ab}＜2$
C.$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geqslant 1$
D.$\frac{1}{a^{2}+b^{2}}\leqslant \frac{1}{8}$

答案： 3.CD $ab \leqslant (\frac{a + b}{2})^{2} \leqslant \frac{a^{2} + b^{2}}{2}$，当且仅当$a = b = 2$时等号成立，则$ab \leqslant (\frac{4}{2})^{2} = 4$或$(\frac{4}{2})^{2} \leqslant \frac{a^{2} + b^{2}}{2}$，则$\frac{1}{ab} \geqslant \frac{1}{4}$，$\sqrt{ab} \leqslant 2$，$a^{2} + b^{2} \geqslant 8$，$\frac{1}{a^{2} + b^{2}} \leqslant \frac{1}{8}$，即A、B错误，D正确.对于C选项，$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{a + b}{ab} = \frac{4}{ab} \geqslant 4 × \frac{1}{4} = 1$，C选项正确.故选：CD

4. (2025·全国·专题练习)已知$a,b\in(0,1)$且$a\neq b$，下列各式中最大的是______.（填序号）
①$a^{2}+b^{2}$；②$2\sqrt{ab}$；③$2ab$；④$a + b$.

答案： 4.解析：因为$a,b \in (0,1)$，所以$a^{2} ＜ a$，$b^{2} ＜ b$，$a ＜ \sqrt{a}$，$b ＜ \sqrt{b}$，所以$a^{2} + b^{2} ＜ a + b$，$ab ＜ \sqrt{ab}$，当$a \neq b$时，由基本不等式可知$\frac{a + b}{2} ＞ \sqrt{ab}$，所以$a + b ＞ 2\sqrt{ab}$，由上可知，$a + b ＞ 2\sqrt{ab} ＞ 2ab$，$a + b ＞ a^{2} + b^{2}$，所以四个式子中$a + b$最大.故答案为：④.
答案：④

5. (2025·全国·专题练习)已知$0＜x＜\frac{1}{2}$，则函数$y = x(1 - 2x)$的最大值是（ ）

A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$\frac{1}{8}$
D.$\frac{1}{9}$

答案： 5.C $\because 0 ＜ x ＜ \frac{1}{2}$，$\therefore 1 - 2x ＞ 0$，$\therefore x(1 - 2x) = \frac{1}{2} × 2x(1 - 2x)$
$\leqslant \frac{1}{2} × [\frac{2x + (1 - 2x)}{2}]^{2} = \frac{1}{8}$，当且仅当$2x = 1 - 2x$时，即$x = \frac{1}{4}$时等号成立，因此，函数$y = x(1 - 2x)$，$(0 ＜ x ＜ \frac{1}{2})$的最大值为$\frac{1}{8}$.故选：C.

6. (2025·全国·专题练习)$\sqrt{(3 - a)(a + 6)}$，$(-6 ＜ a ＜ 3)$的最大值为______.

答案： 6.解析：因为$- 6 ＜ a ＜ 3$，所以$3 - a ＞ 0$，$a + 6 ＞ 0$，由基本不等式可得$\sqrt{(3 - a)(a + 6)} \leqslant \frac{3 - a + a - 6}{2} = \frac{9}{2}$，当且仅当$3 - a = a + 6$，即$a = - \frac{3}{2}$时，等号成立.所以$\sqrt{(3 - a)(a + 6)}$，$(- 6 ＜ a ＜ 3)$的最大值为$\frac{9}{2}$.故答案为：$\frac{9}{2}$.
答案：$\frac{9}{2}$

7. (2025·河南·高一校联考质量检测)已知正实数$a,b$满足$2a + b - 9ab = 0$，则$a + 2b$的最小值为（ ）

A.3
B.1
C.9
D.$\frac{1}{3}$

答案： 7.B 因为$2a + b - 9ab = 0$，变形得$\frac{1}{a} + \frac{2}{b} = 9$.由题意$a + 2b$
$=(a + 2b)(\frac{1}{a} + \frac{2}{b}) = 5 + \frac{2b}{a} + \frac{2a}{b} \geqslant 5 + 2\sqrt{4} = 5 + 2\sqrt{\frac{2b}{a} · \frac{2a}{b}} = 9$，当且仅当$\frac{2b}{a} = \frac{2a}{b}$，即$a = b = \frac{1}{3}$时，等号成立.故选：B.

8. (2025·全国·高一专题练习)已知$x＞0,y＞0$，若$x + 3y + 4xy = 6$，则$x + 3y$的最小值为______.

答案： 8.解析：因为$x ＞ 0$，$y ＞ 0$，$x + 3y + 4xy = 6$，所以$4xy = 6 - (x + 3y)$，即$\frac{4}{3} × x · 3y = 6 - (x + 3y)$.因为$\frac{4}{3} × x · 3y \leqslant \frac{4}{3}(\frac{x + 3y}{2})^{2}$，当且仅当$x = 3y$时取到等号，所以$\frac{(x + 3y)^{2}}{3} \geqslant 6 - (x + 3y)$，解得$x + 3y \geqslant 3$或$x + 3y \leqslant - 6$(舍).所以当$x = \frac{3}{2}$，$y = \frac{1}{2}$时，$x + 3y$有最小值$3$.故答案为：$3$.
答案：$3$

9. (2025·全国·专题练习)某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润$y$（单位：万元）与机器运转时间$x$（单位：年）的关系为$y=-x^{2}+18x - 25(x\in N^{*})$，则每台机器为该公司创造的年平均利润的最大值是______万元.

答案： 9.解析：每台机器运转$x$年的年平均利润为$\frac{y}{x} = 18 - (x + \frac{25}{x})$，
而$x ＞ 0$，故$\frac{y}{x} \leqslant 18 - 2\sqrt{25} = 8$，当且仅当$x = 5$时等号成立，此时每台机器为该公司创造的年平均利润最大，最大值为$8$万元.故答案为：$8$.
答案：$8$

10. (2025·全国·高一专题练习)已知正数$x,y$满足$x + y = 4$，则$xy$的最大值（ ）

A.2
B.4
C.6
D.8

答案： 10.B 因为正数$x$，$y$满足$x + y = 4$，所以有$4 = x + y \geqslant 2\sqrt{xy} \Rightarrow \sqrt{xy} \leqslant 2 \Rightarrow xy \leqslant 4$，当且仅当$x = y = 2$时取等号，故选：B

11. (多选题)(2025·广东揭阳·高一惠来县第一中学质量检测)《几何原本》中的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成为了后世数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明.如图，在线段$AB$上任取一点$C$（不含端点$A,B$），使得$AC = a,BC = b$，过点$C$作$CD\perp AB$交以$AB$为直径，$O$为圆心的半圆周于点$D$，连接$OD$.下面不能由$OD\geqslant CD$直接证明的不等式为（ ）


A.$\sqrt{ab}\leqslant \frac{a + b}{2}(a＞0,b＞0)$
B.$\sqrt{ab}\geqslant \frac{2ab}{a + b}(a＞0,b＞0)$
C.$a^{2}+b^{2}\geqslant 2ab(a＞0,b＞0)$
D.$\frac{a + b}{2}\leqslant \frac{a^{2}+b^{2}}{2}(a＞0,b＞0)$

答案： 11.BCD 因为$AC = a$，$BC = b$，所以$OD = \frac{1}{2}(a + b)$，由题意得，$\angle ADB = 90^{\circ}$，由射影定理可得，$CD^{2} = AC · BC = ab$，由$OD \geqslant CD$，得$\frac{1}{2}(a + b) \geqslant \sqrt{ab}$，当且仅当$a = b$时取等号，A正确，B、C、D不正确.故选：BCD.