《2026年优选课堂必刷题高一数学全一册人教版》

1. (2025·新余市第一中学质量检测)已知集合 $ A = \{ 0,1,2 \} $，$ B = \{ - 1,1,3 \} $，下列对应关系中，从 $ A $ 到 $ B $ 的函数为 （ ）

A.$ f:x \to y = x $
B.$ f:x \to y = x^{2} $
C.$ f:x \to y = 2x $
D.$ f:x \to y = 2x - 1 $

答案： 1.D　对A：当$x=0,1,2$时，对应的$y=x$为$0,1,2$，所以选项A不能构成函数；对B：当$x=0,1,2$时，对应的$y=x^2$为$0,1,4$，所以选项B不能构成函数；对C：当$x=0,1,2$时，对应的$y=2x$为$0,2,4$，所以选项C不能构成函数；对D：当$x=0,1,2$时，对应的$y=2x - 1$为$-1,1,3$，所以选项D能构成函数.故选:D.

2. (多选题)(2025·江苏扬州·高一质量检测)下列对应中是函数的是 （ ）

A.$ x \to y $，其中 $ y = 2x + 1 $，$ x \in \{ 1,2,3,4 \} $，$ y \in \{ x | x \lt 10,x \in \mathbf{N} \} $
B.$ x \to y $，其中 $ y^{2} = x $，$ x \in 0, + \infty ) $，$ y \in \mathbf{R} $
C.$ x \to y $，其中 $ y $ 为不大于 $ x $ 的最大整数，$ x \in \mathbf{R} $，$ y \in \mathbf{Z} $
D.$ x \to y $，其中 $ y = x - 1 $，$ x \in \mathbf{N}^{*} $，$ y \in \mathbf{N}^{*} $

答案： 2.AC　对于A，对集合$\{1,2,3,4\}$中的每个元素$x$，按照$y = 2x + 1$，在$\{x|x＜10,x∈N\}$中都有唯一元素$y$与之对应，A是；对于B，在区间$0, +\infty)$内存在元素$x$，按照$y^2 = x$，在$R$中有两个$y$值与之对应，如$x = 1$，与之对应的$y = ±1$，B不是；对于C，对每个实数$x$，按照“$y$为不大于$x$的最大整数”，都有唯一一个整数$y$与之对应，C是；对于D，当$x = 1$时，按照$y = x - 1$，在$N^*$中不存在元素与之对应，D不是.故选:AC.

3. (2025·全国·高一专题练习)下列四组函数中，表示同一函数的是 （ ）

A.$ f ( x ) = x $ 与 $ g ( x ) = | x | $
B.$ f ( x ) = \sqrt { ( x + 2 ) ^ { 2 } } $ 与 $ g ( x ) = ( \sqrt { x + 2 } ) ^ { 2 } $
C.$ f ( x ) = \sqrt { x } $ 与 $ g ( x ) = \frac { x } { \sqrt { x } } $
D.$ f ( x ) = x $ 与 $ g ( x ) = \sqrt [ 3 ] { x ^ { 3 } } $

答案： 3.D　对选项A，因为$f(x) = x$定义域为$R$，$g(x) = |x|$定义域为$R$，定义域相同，但$f(x)≠g(x)$，所以$f(x),g(x)$不是同一函数，故A错误；对选项B，因为$f(x)=\sqrt{(x + 2)^2}$定义域为$R$，$g(x)=(\sqrt{x + 2})^2$定义域为$\{x|x\geq - 2\}$，定义域不同，所以$f(x),g(x)$不是同一函数，故B错误；对选项C，因为$f(x)=\sqrt{x}$定义域为$\{x|x\geq0\}$，$g(x)=\frac{x}{\sqrt{x}}$定义域为$\{x|x＞0\}$，定义域不同，所以$f(x),g(x)$不是同一函数，故C错误；对选项D，因为$f(x) = x$定义域为$R$，$g(x)=\sqrt[3]{x^3}$定义域为$R$，又$g(x)=\sqrt[3]{x^3}=x=f(x)$，所以$f(x),g(x)$是同一函数，故D正确.故选:D.

4. (2025·广东广州·高一西关培英中学质量检测)已知集合 $ A = \{ x | 0 \lt x \lt 3 \} $，$ B = \{ x | 1 \leq x \leq 4 \} $，则 $ A \cap B = $ （ ）

A.$ ( 0,1 $
B.$ 1,3 ) $
C.$ 3,4 ) $
D.$ ( 0,4 $

答案： 4.B　因为集合$A = \{x|0＜x＜3\}$，$B = \{x|1\leq x\leq4\}$，所以$A\cap B = \{x|1\leq x＜3\}$，即$A\cap B = 1,3)$.故选:B.

5. (2025·全国·专题练习)已知函数 $ f ( x ) = \sqrt { x - 3 } - \frac { 1 } { \sqrt { 7 - x } } $ 的定义域为 （ ）

A.$ [ 3,7 ] $
B.$ 3,7 ) $
C.$ ( - \infty,3 $
D.$ ( 7, + \infty ) $

答案： 5.B　由题意得$\begin{cases}x - 3\geq0\\7 - x＞0\end{cases}$，解得$3\leq x＜7$，故定义域为$3,7)$.故选:B

6. (2025·全国·高一专题练习)函数 $ f ( x ) = \sqrt { \frac { x - 1 } { x ^ { 2 } + 1 } } $ 的定义域为______.

答案： 6.解析：令$\frac{x - 1}{x^2 + 1}\geq0$，可得$x - 1\geq0$，解得$x\geq1$.故函数$f(x)=\sqrt{\frac{x - 1}{x^2 + 1}}$的定义域为$\{x|x\geq1\}$.故答案为:$\{x|x\geq1\}$.

7. (2025·黑龙江哈尔滨·高一质量检测)函数 $ f ( x ) = - x ^ { 2 } - 2x + 4 $，$ x \in [ - 2,3 ] $，则 $ f ( x ) $ 的值域为 （ ）

A.$ [ - 11,4 ] $
B.$ [ - 11,5 ] $
C.$ [ 4,5 ] $
D.$ [ - 4,5 ] $

答案： 7.B　$f(x)= - x^2 - 2x + 4 = -(x + 1)^2 + 5$，又$x\in[-2,3]$，所以函数$f(x)$在$[-2,-1]$上单调递增，在$[-1,3]$上单调递减，则$f(x)_{max}=f(-1)=5$，又$f(-2)=4$，$f(3)= - 11$，所以$f(x)_{min}= - 11$.所以$f(x)$的值域为$[-11,5]$.故选:B.

8. (2025·全国·专题练习)求函数 $ y = \frac { x } { 8 } + \frac { 1 } { 2 } \sqrt { 20 - x } ( 0 \leq x \leq 20 ) $ 的值域为______.

答案： 8.解析：令$t=\sqrt{20 - x}(0\leq t\leq2\sqrt{5})$，则$x = 20 - t^2$，$\therefore y=\frac{20 - t^2}{8}+\frac{1}{2}t=\frac{1}{8}(t^2 - 4t - 20)=-\frac{1}{8}(t - 2)^2 + 3$.容易看出，该函数转化为一个开口向下的二次函数，对称轴为$t = 2$，$\because0\leq t\leq2\sqrt{5}$，所以该函数在$t = 2$时取到最大值$3$，当$t = 2\sqrt{5}$时，函数取得最小值$\sqrt{5}$，所以函数$y=\frac{x}{8}+\frac{1}{2}\sqrt{20 - x}$$(0\leq x\leq20)$值域为$y\in[\sqrt{5},3]$.故答案为:$[\sqrt{5},3]$.

9. (2025·高一课时练习)下表给出了 $ x $ 与 $ f ( x ) $ 和 $ g ( x ) $ 的对应关系，根据表格可知 $ f [ g ( 1 ) ] $ 的值为 （ ）


A.$ 1 $
B.$ 2 $
C.$ 3 $
D.$ 4 $

答案： 9.B　由表中数据可知$g(1)=4$，所以$f[g(1)]=f(4)=2$，故选:B.

10. (2025·全国·专题练习)若函数 $ y = x ^ { 2 } - 3x - 4 $ 的定义域为 $ [ 0,m ] $，值域为 $ \left[ - \frac { 25 } { 4 }, - 4 \right] $，则实数 $ m $ 的取值范围是 （ ）

A.$ ( 0,3 $
B.$ \left[ \frac { 3 } { 2 },4 \right] $
C.$ \left[ \frac { 3 } { 2 },3 \right] $
D.$ \left \frac { 3 } { 2 }, + \infty \right) $

答案： 10.C　$\because y = x^2 - 3x - 4$为开口方向向上，对称轴为$x=\frac{3}{2}$的二次函数，$\therefore y_{min}=\frac{9}{4}-\frac{9}{2}-4=-\frac{25}{4}$.令$x^2 - 3x - 4 = - 4$，解得:$x_1 = 0$，$x_2 = 3$。$\therefore\frac{3}{2}\leq m\leq3$。即实数$m$的取值范围为$[\frac{3}{2},3]$.故选:C.

11. (2025·全国·对口高考)已知函数 $ y = x ^ { 2 } - 3x + 3 ( x \gt 0 ) $ 的值域是 $ [ 1,7 ] $，则 $ x $ 的取值范围是 （ ）

A.$ ( 0,4 $
B.$ [ 1,4 ] $
C.$ [ 1,2 ] $
D.$ ( 0,1 ] \cup [ 2,4 ] $

答案：
11.D　$y = x^2 - 3x + 3=(x - \frac{3}{2})^2+\frac{3}{4}$，画出图象，如图所示，
令$y = 1$，则$x^2 - 3x + 3 = 1$，解得$x = 1$或$x = 2$，令$y = 7$，则$x^2 - 3x + 3 = 7$，解得$x = - 1$(舍去)或$x = 4$，对于A：当$x\in(0,4]$时，结合图象，得$y\in[\frac{3}{4},7]$，故A错误；对于B：当$x\in[1,4]$时，结合图象，得$y\in[\frac{3}{4},7]$，故B错误；对于C：当$x\in[1,2]$时，则$y\in[\frac{3}{4},1]$，故C错误；对于D：当$x\in(0,1]\cup[2,4]$时，结合图象，得$y\in[1,7]$，故D正确.故选:D.