《2026年优选课堂必刷题高一数学全一册人教版》

[例] (2025·全国·专题练习)设 $2 ＜ a ＜ 7$, $1 ＜ b ＜ 2$,则 $a + 3b$ 的取值范围是______, $ab$ 的取值范围是______。

答案： [解析] 由 $3 ＜ 3b ＜ 6,2 ＜ a ＜ 7$,同向不等式的可加性,得 $5 ＜ a + 3b ＜ 13$;由 $2 ＜ a ＜ 7$, $1 ＜ b ＜ 2$,同向同正不等式的可乘性,得 $2 ＜ ab ＜ 14$.故答案为: $(5,13),(2,14)$.
[答案] $(5,13)$ $(2,14)$

[例 1] (2025·全国·专题练习)已知 $2 ＜ a ＜ 3,-2 ＜ b ＜ -1$,分别求 $a + b,2a - b,ab,\frac{a}{b}$ 的取值范围.

答案： [解] 因为 $2 ＜ a ＜ 3,-2 ＜ b ＜ -1$,所以 $2 + (-2) ＜ a + b ＜ 3 + (-1)$,即 $a + b$ 的取值范围是 $(0,2)$.由 $4 ＜ 2a ＜ 6,1 ＜ -b ＜ 2$,得 $5 ＜ 2a - b ＜ 8$,所以 $2a - b$ 的取值范围是 $(5,8)$.由 $2 ＜ a ＜ 3,1 ＜ -b ＜ 2$,得 $2 ＜ -ab ＜ 6$,所以 $ab$ 的取值范围是 $(-6,-2)$.易知 $\frac{1}{2} ＜ -\frac{1}{b} ＜ 1$,而 $2 ＜ a ＜ 3$ 则 $1 ＜ -\frac{a}{b} ＜ 3$,所以 $\frac{a}{b}$ 的取值范围是 $(-3,-1)$.

[例 2] (2025·全国·高一专题练习)用比较法证明以下各题:
(1)已知 $a ＞ 0,b ＞ 0$.求证: $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} ≥ \frac{2}{\sqrt{ab}}$.
(2)已知 $a ＞ 0,b ＞ 0$.求证: $\frac{b}{\sqrt{a}} + \frac{a}{\sqrt{b}} ≥ \sqrt{a} + \sqrt{b}$.

答案： [解]
(1)证明: $\because a ＞ 0,b ＞ 0$,
$\therefore \frac{1}{a} + \frac{1}{b} - \frac{2}{\sqrt{ab}} = (\frac{1}{\sqrt{a}})^2 - 2\frac{1}{\sqrt{a}} × \frac{1}{\sqrt{b}} + (\frac{1}{\sqrt{b}})^2 = (\frac{1}{\sqrt{a}} - \frac{1}{\sqrt{b}})^2 ≥ 0,\therefore \frac{1}{a} + \frac{1}{b} ≥ \frac{2}{\sqrt{ab}}$;
(2) $\because a ＞ 0,b ＞ 0$,则 $b - a$ 与 $\sqrt{b} - \sqrt{a}$ 符号相同,且 $\sqrt{ab} ＞ 0,\therefore \frac{b}{\sqrt{a}} + \frac{a}{\sqrt{b}} - \sqrt{a} - \sqrt{b} = \frac{b}{\sqrt{a}} - \sqrt{a} + \frac{a}{\sqrt{b}} - \sqrt{b} = \frac{b - a}{\sqrt{a}} + \frac{a - b}{\sqrt{b}} = (b - a)(\frac{1}{\sqrt{a}} - \frac{1}{\sqrt{b}}) = (b - a)\frac{\sqrt{b} - \sqrt{a}}{\sqrt{ab}} ≥ 0,\therefore \frac{b}{\sqrt{a}} + \frac{a}{\sqrt{b}} ≥ \sqrt{a} + \sqrt{b}$.