《2025年学业水平评价八年级数学上册人教版》

22.（10分）如图，在△ACB中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D.
（1）求证：∠ACD=∠B；
（2）若AF平分∠CAB分别交CD，BC于点E，F，求证：∠CEF=∠CFE.

答案： （1）证明：因为∠ACB=90°，所以∠ACD+∠BCD=90°。因为CD⊥AB，所以∠B+∠BCD=90°（直角三角形两锐角互余），所以∠ACD=∠B（同角的余角相等）。
（2）证明：因为AF平分∠CAB，所以∠CAF=∠BAF。因为∠CEF=∠CAF+∠ACD（三角形外角等于不相邻两内角之和），∠CFE=∠BAF+∠B（三角形外角等于不相邻两内角之和），又因为∠ACD=∠B（已证），所以∠CEF=∠CFE。

23.（10分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC，过点A作直线GH//BC，且∠GAB=60°，∠C=40°.
（1）求△ABC的外角∠CAF的度数；
（2）求∠DAE的度数.

答案： （1）解：因为GH//BC，所以∠ABC=∠GAB=60°（两直线平行，内错角相等）。∠CAF是△ABC的外角，所以∠CAF=∠ABC+∠C=60°+40°=100°。
（2）解：在△ABC中，∠BAC=180°-∠ABC-∠C=180°-60°-40°=80°。因为AE平分∠BAC，所以∠BAE=∠BAC/2=40°。因为AD⊥BC，所以∠ADB=90°，在△ABD中，∠BAD=90°-∠ABC=90°-60°=30°。所以∠DAE=∠BAE-∠BAD=40°-30°=10°。

24.（10分）如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线，过点E作EF⊥BC，垂足为F.
（1）∠ABC=35°，∠EBD=18°，∠BAD=55°，求∠BED的度数；
（2）若△ABC的面积为30，EF=5，求CD.

答案： （1）解：在△ABD中，∠ADB=180°-∠ABC-∠BAD=180°-35°-55°=90°。在△BDE中，∠BED=180°-∠EBD-∠ADB=180°-18°-90°=72°。
（2）解：因为AD是△ABC的中线，所以S△ABD=S△ACD=S△ABC/2=30/2=15。因为BE是△ABD的中线，所以S△BDE=S△ABE=S△ABD/2=15/2=7.5。S△BDE=1/2×BD×EF，即7.5=1/2×BD×5，解得BD=3。因为AD是中线，所以BD=CD，所以CD=3。