《2025年学业水平评价八年级数学上册人教版》

15. 如图，等边三角形ABC的边长为5，A，B，A₁三点在一条直线上，且△ABC≌△A₁BC₁，若D为线段BC₁上一动点，则AD+CD的最小值是___。

答案： 5√3
解析：作C关于BC₁的对称点C'，连接AC'交BC₁于D，AD+CD=AC'。△ABC≌△A₁BC₁，∠ABA₁=120°，BC=BC₁=5，AC'=AB×√3=5√3。

16. 如图，等腰△ABC的底边BC的长为2cm，面积是6cm²，腰AB的垂直平分线EF交AB于点E，交AC于点F。若D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的周长最短为___cm。

答案： 7
解析：连接AD，AM，EF是AB垂直平分线，AM=BM，△BDM周长=BM+MD+BD=AM+MD+1≥AD+1。AD是高，面积6，BC=2，AD=6，
∴周长最短=6+1=7cm。

17. (8分)如图是由16个小正方形组成的正方形网格图，现已将其中的两个涂黑。请你用四种不同的方法分别在下图中再涂黑三个空白的小正方形，使它成为轴对称图形。

答案： （四种方法分别画出对称轴及涂黑位置，此处省略图形，答案合理即可）

18. (9分)如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D。
(1)若∠C=42°，求∠BAD的度数；
(2)若点E在边AB上，EF//AC交AD的延长线于点F。求证：AE=FE。

答案：
(1)48°
解析：
∵AB=AC，∠C=42°，
∴∠B=42°，∠BAC=180°-42°×2=96°，AD⊥BC，AD平分∠BAC，∠BAD=48°。
(2)证明：
∵EF//AC，
∴∠F=∠CAD。
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠F=∠BAD，
∴AE=FE。

19. (9分)如图，在Rt△ABC中，AB=AC，P为斜边BC上一点(PB＜CP)，分别过点B，C作BE⊥AP于点E，CD⊥AP于点D。求证：AD=BE。

答案： 证明：
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠BAE+∠CAD=90°。
∵BE⊥AP，CD⊥AP，
∴∠BEA=∠ADC=90°，∠BAE+∠ABE=90°，
∴∠ABE=∠CAD。
在△ABE和△CAD中，
∠ABE=∠CAD，
∠BEA=∠ADC，
AB=AC，
∴△ABE≌△CAD(AAS)，
∴AD=BE。

20. (9分)在等边三角形ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP=∠ACQ，BP=CQ。
(1)求证：△ABP≌△ACQ。
(2)请判断△APQ是什么形状的三角形，试证明你的结论。

答案：
(1)证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°。
在△ABP和△ACQ中，
AB=AC，
∠ABP=∠ACQ，
BP=CQ，
∴△ABP≌△ACQ(SAS)。
(2)等边三角形
证明：由
(1)得AP=AQ，∠BAP=∠CAQ。
∵∠BAC=∠BAP+∠PAC=60°，
∴∠PAQ=∠CAQ+∠PAC=60°，
∴△APQ是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）。