《2025年学业水平评价八年级数学上册人教版》

21. (10分)如图，在△ABC中，∠A=60°，P为AB上一点，Q为BC延长线上一点，且PA=CQ，连接PQ交AC于点D，PD=DQ，证明：△ABC为等边三角形．

答案： 过点P作PE//BC交AC于点E，
∵PE//BC，
∴∠PED=∠QCD，∠EPD=∠Q，
∵PD=DQ，
∴△PED≌△QCD(AAS)，
∴PE=CQ，
∵PA=CQ，
∴PE=PA，
∴∠PEA=∠A=60°，
∵PE//BC，
∴∠PEA=∠ACB=60°，
∵∠A=60°，
∴∠ABC=180° -∠A -∠ACB=60°，
∴∠A=∠ABC=∠ACB=60°，
∴△ABC为等边三角形．

22. (10分)如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A，D在同一条直线上，M，N分别为BE，CD的中点．
(1)求证：△ABE≌△ACD．
(2)判断△AMN的形状，并说明理由．

答案：
(1)
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC +∠CAE=∠DAE +∠CAE，即∠BAE=∠CAD，
∵AB=AC，AD=AE，
∴△ABE≌△ACD(SAS)；
(2)△AMN是等腰三角形，
理由：
∵△ABE≌△ACD，
∴BE=CD，∠ABE=∠ACD，
∵M，N分别为BE，CD的中点，
∴BM= $\frac{1}{2}$BE，CN= $\frac{1}{2}$CD，
∴BM=CN，
∵AB=AC，∠ABE=∠ACD，
∴△ABM≌△ACN(SAS)，
∴AM=AN，
∴△AMN是等腰三角形．

23. (10分)如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4 cm，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别在AB，BC上匀速移动，它们的速度分别为v$_{P}$=2 cm/s，v$_{Q}$=1 cm/s，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t s．
(1)当t为何值时，△PBQ为等边三角形？
(2)当t为何值时，△PBQ为直角三角形？

答案：
(1)
∵在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4 cm，
∴BC= $\frac{1}{2}$AB=2 cm，AC= $\sqrt{AB^{2} - BC^{2}}$= $\sqrt{4^{2} - 2^{2}}$=2$\sqrt{3}$ cm，
∵动点P，Q同时从A，B两点出发，速度分别为v$_{P}$=2 cm/s，v$_{Q}$=1 cm/s，
∴AP=2t cm，BQ=t cm，
∴PB=AB - AP=4 - 2t cm，
∵△PBQ为等边三角形，
∴PB=BQ，
∴4 - 2t=t，
解得t= $\frac{4}{3}$，
∵当点P到达点B时，t= $\frac{AB}{v_{P}}$= $\frac{4}{2}$=2 s，
∴t= $\frac{4}{3}$＜2，
∴当t= $\frac{4}{3}$ s时，△PBQ为等边三角形；
(2)
∵∠B=180° -∠A -∠C=60°，
当∠BQP=90°时，
∵∠B=60°，
∴∠BPQ=30°，
∴PB=2BQ，
∴4 - 2t=2t，
解得t=1，
当∠BPQ=90°时，
∵∠B=60°，
∴∠BQP=30°，
∴BQ=2PB，
∴t=2(4 - 2t)，
t=8 - 4t，
5t=8，
t= $\frac{8}{5}$，
∵t=1＜2，t= $\frac{8}{5}$=1.6＜2，
∴当t=1 s或t= $\frac{8}{5}$ s时，△PBQ为直角三角形．

23. (10分)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=6，D为AB上一动点(不与点A重合)，△AED为等边三角形，过D点作DE的垂线，F为垂线上一点，连接EF，使∠F=30°，G为EF的中点，求线段BG长的最小值．

答案： 3