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22.（10分）如图，在Rt△ABC和Rt△EFD中，$\angle ABC = 90^{\circ}$，$\angle EFD = 90^{\circ}$，$AC = ED$，$AC\perp ED$，垂足为M.连接EA，连接EC并延长交AB的延长线于点G.
（1）求证：△ABC≌△EFD；
（2）若$\angle G=45^{\circ}$，求证：$EA = ED$.
（1）求证：△ABC≌△EFD；
（2）若$\angle G=45^{\circ}$，求证：$EA = ED$.
答案：
（1）略；（2）略
解析：（1）$AC\perp ED$，$\angle CAB+\angle AEM=90^{\circ}$，$\angle FED+\angle AEM=90^{\circ}$，所以$\angle CAB=\angle FED$。又$\angle ABC=\angle EFD=90^{\circ}$，$AC = ED$，AAS可证全等。
（2）由（1）得$AB = EF$，$BC = FD$。$\angle G=45^{\circ}$，$BG = BC$，$AG = AB + BG = EF + FD$，$ED = AC = AG$，$EA = AG$，所以$EA = ED$。
解析：（1）$AC\perp ED$，$\angle CAB+\angle AEM=90^{\circ}$，$\angle FED+\angle AEM=90^{\circ}$，所以$\angle CAB=\angle FED$。又$\angle ABC=\angle EFD=90^{\circ}$，$AC = ED$，AAS可证全等。
（2）由（1）得$AB = EF$，$BC = FD$。$\angle G=45^{\circ}$，$BG = BC$，$AG = AB + BG = EF + FD$，$ED = AC = AG$，$EA = AG$，所以$EA = ED$。
23.（10分）如图，在△ABC中，AD平分$\angle BAC$，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.
（1）说明$BE = CF$的理由；
（2）如果$AB = 5$，$AC = 3$，求AE，BE的长.
（1）说明$BE = CF$的理由；
（2）如果$AB = 5$，$AC = 3$，求AE，BE的长.
答案：
（1）略；（2）AE=4，BE=1
解析：（1）连接BD,CD，DG垂直平分BC，BD=CD。AD平分$\angle BAC$，DE=DF，Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），所以BE=CF。
（2）设BE=CF=x，AE=AB - BE=5 - x，AF=AC + CF=3 + x。AD平分$\angle BAC$，AE=AF，$5 - x=3 + x$，$x = 1$，AE=4，BE=1。
解析：（1）连接BD,CD，DG垂直平分BC，BD=CD。AD平分$\angle BAC$，DE=DF，Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），所以BE=CF。
（2）设BE=CF=x，AE=AB - BE=5 - x，AF=AC + CF=3 + x。AD平分$\angle BAC$，AE=AF，$5 - x=3 + x$，$x = 1$，AE=4，BE=1。
24.（14分）如图，在等边△ABC中，$\angle BAC$的平分线交y轴于点M，$C(0,6)$.
（1）求M点坐标（如图1）；
（2）如图2，E为x轴上任一点，以CE为边在第一象限内作等边△CEF，FB的延长线交y轴于点G，求OG的长；
（3）如图3，在（1）的条件下，若一个含有$60^{\circ}$角的直角三角板绕B点旋转，使$BD = BN$.求证：$MD + MA=MN$.
（1）求M点坐标（如图1）；
（2）如图2，E为x轴上任一点，以CE为边在第一象限内作等边△CEF，FB的延长线交y轴于点G，求OG的长；
（3）如图3，在（1）的条件下，若一个含有$60^{\circ}$角的直角三角板绕B点旋转，使$BD = BN$.求证：$MD + MA=MN$.
答案：
（1）$M(0,2)$；（2）6；（3）略
解析：（1）等边△ABC，$C(0,6)$，A,B关于y轴对称，设$A(-a,0)$，$B(a,0)$，$AB = 2a$，$AC=\sqrt{a^{2}+36}=2a$，解得$a = 2\sqrt{3}$，AM方程$y=\frac{\sqrt{3}}{3}x + 2$，M(0,2)。
（2）证明△BFC≌△AEC（SAS），$\angle FBC=\angle EAC=30^{\circ}$，$OG = OB×\tan30^{\circ}=2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}=2$。（注：原解析可能有误，正确OG长应为6）
（3）略
解析：（1）等边△ABC，$C(0,6)$，A,B关于y轴对称，设$A(-a,0)$，$B(a,0)$，$AB = 2a$，$AC=\sqrt{a^{2}+36}=2a$，解得$a = 2\sqrt{3}$，AM方程$y=\frac{\sqrt{3}}{3}x + 2$，M(0,2)。
（2）证明△BFC≌△AEC（SAS），$\angle FBC=\angle EAC=30^{\circ}$，$OG = OB×\tan30^{\circ}=2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}=2$。（注：原解析可能有误，正确OG长应为6）
（3）略
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