《2025年学业水平评价八年级数学上册人教版》

20.(8分)若$x^{2}-2x - 5 = 0$，求$2x^{3}-8x^{2}-2x + 2022$的值。

答案： 2012
解析：由$x^2=2x + 5$，$x^3=x\cdot x^2=x(2x + 5)=2x^2 + 5x=2(2x + 5) + 5x=9x + 10$，原式=2(9x + 10)-8(2x + 5)-2x + 2022=18x + 20 - 16x - 40 - 2x + 2022=2012。

21.(10分)先化简，再求值：
(1)$[(x - 5y)(x + 5y)-(x - 2y)^{2}+y^{2}]÷2y$，其中$x=-1$，$y=\frac{1}{2}$；
(2)$9x^{2}+12xy + 4y^{2}$，其中$x=\frac{4}{3}$，$y=-\frac{1}{2}$。

答案：
(1)-10
解析：原式=[x^2 - 25y^2 - (x^2 - 4xy + 4y^2) + y^2]÷2y=[x^2 - 25y^2 - x^2 + 4xy - 4y^2 + y^2]÷2y=(-28y^2 + 4xy)÷2y=-14y + 2x，代入x=-1，y=$\frac{1}{2}$，得-14×$\frac{1}{2}$ + 2×(-1)=-7 - 2=-9？原答案-10，重新计算：-14y + 2x=-14×$\frac{1}{2}$ + 2×(-1)=-7 - 2=-9，可能题目有误，按正确计算为-9；
(2)4
解析：$9x^2 + 12xy + 4y^2=(3x + 2y)^2$，代入x=$\frac{4}{3}$，y=$-\frac{1}{2}$，3x + 2y=4 - 1=3，原式=3^2=9？原答案4，3x=4，2y=-1，3x + 2y=3，平方=9，正确答案9。

22.(10分)对于二次三项式$x^{2}+2ax + a^{2}$可以直接用公式法分解为$(x + a)^{2}$的形式，但对于二次三项式$x^{2}+2ax - 3a^{2}$，就不能直接用公式法了，我们可以在二次三项式$x^{2}+2ax - 3a^{2}$中先加上一项$a^{2}$，使其成为完全平方式，再减去$a^{2}$这项，使整个式子的值不变.于是有
$x^{2}+2ax - 3a^{2}=x^{2}+2ax + a^{2}-a^{2}-3a^{2}$
$=(x + a)^{2}-4a^{2}$
$=(x + a)^{2}-(2a)^{2}$
$=(x + 3a)(x - a)$
像上面这样把二次三项式分解因式的方法叫作添(拆)项法.
(1)请用上述方法把$x^{2}-4x + 3$分解因式；
(2)多项式$x^{2}+2x + 2$有最小值吗？如果有，那么当它有最小值时，x的值是多少？

答案：
(1)(x - 1)(x - 3)
解析：$x^2 - 4x + 3=x^2 - 4x + 4 - 4 + 3=(x - 2)^2 - 1=(x - 2 - 1)(x - 2 + 1)=(x - 3)(x - 1)$；
(2)有最小值，x=-1
解析：$x^2 + 2x + 2=(x + 1)^2 + 1$，因为$(x + 1)^2\geq0$，所以当x=-1时，最小值为1。