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1.下列计算中，正确的是（ ）
A.$(a^{2})^{3}=a^{8}$ B.$a^{8}÷ a^{4}=a^{2}$ C.$a^{3}+a^{2}=a^{5}$ D.$a^{2}\cdot a^{3}=a^{5}$
A.$(a^{2})^{3}=a^{8}$ B.$a^{8}÷ a^{4}=a^{2}$ C.$a^{3}+a^{2}=a^{5}$ D.$a^{2}\cdot a^{3}=a^{5}$
答案：
D
解析：A.$(a^2)^3=a^{2×3}=a^6$，错误；B.$a^8÷a^4=a^{8-4}=a^4$，错误；C.$a^3$与$a^2$不是同类项，不能合并，错误；D.$a^2\cdot a^3=a^{2+3}=a^5$，正确。
解析：A.$(a^2)^3=a^{2×3}=a^6$，错误；B.$a^8÷a^4=a^{8-4}=a^4$，错误；C.$a^3$与$a^2$不是同类项，不能合并，错误；D.$a^2\cdot a^3=a^{2+3}=a^5$，正确。
2.若$3^{x}=a$，$3^{y}=b$，则$3^{x-y}$等于（ ）
A.ab B.2ab C.$\frac{a}{b}$ D.$a+\frac{1}{b}$
A.ab B.2ab C.$\frac{a}{b}$ D.$a+\frac{1}{b}$
答案：
C
解析：$3^{x-y}=3^x÷3^y=\frac{3^x}{3^y}=\frac{a}{b}$。
解析：$3^{x-y}=3^x÷3^y=\frac{3^x}{3^y}=\frac{a}{b}$。
3.在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图1），把余下的部分拼成一个矩形（如图2），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（ ）
A.$(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$ B.$(a+2b)(a-b)=a^{2}+ab-2b^{2}$ C.$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$ D.$a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$
A.$(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$ B.$(a+2b)(a-b)=a^{2}+ab-2b^{2}$ C.$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$ D.$a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$
答案：
D
解析：图1阴影面积为$a^2 - b^2$，图2矩形长为$a + b$，宽为$a - b$，面积为$(a + b)(a - b)$，所以验证$a^2 - b^2=(a + b)(a - b)$。
解析：图1阴影面积为$a^2 - b^2$，图2矩形长为$a + b$，宽为$a - b$，面积为$(a + b)(a - b)$，所以验证$a^2 - b^2=(a + b)(a - b)$。
4.如果单项式$-3x^{4m-n}y^{2}$与$\frac{1}{3}x^{3}y^{m+n}$的和仍是单项式，那么这两个单项式的积为（ ）
A.$-x^{6}y^{4}$ B.$x^{6}y^{4}$ C.$x^{3}y^{2}$ D.$-3x^{3}y^{2}$
A.$-x^{6}y^{4}$ B.$x^{6}y^{4}$ C.$x^{3}y^{2}$ D.$-3x^{3}y^{2}$
答案：
A
解析：由题意得$\begin{cases}4m - n = 3 \\ m + n = 2\end{cases}$，解得$\begin{cases}m = 1 \\ n = 1\end{cases}$，两单项式为$-3x^3y^2$和$\frac{1}{3}x^3y^2$，积为$-3x^3y^2 \cdot \frac{1}{3}x^3y^2=-x^6y^4$。
解析：由题意得$\begin{cases}4m - n = 3 \\ m + n = 2\end{cases}$，解得$\begin{cases}m = 1 \\ n = 1\end{cases}$，两单项式为$-3x^3y^2$和$\frac{1}{3}x^3y^2$，积为$-3x^3y^2 \cdot \frac{1}{3}x^3y^2=-x^6y^4$。
5.已知$2a - b = 2$，那么代数式$4a^{2}+b^{2}-4ab$的值是（ ）
A.6 B.4 C.2 D.0
A.6 B.4 C.2 D.0
答案：
B
解析：$4a^2 + b^2 - 4ab=(2a - b)^2=2^2=4$。
解析：$4a^2 + b^2 - 4ab=(2a - b)^2=2^2=4$。
6.已知$x^{2}+x = 1$，那么$x^{4}+2x^{3}-x^{2}-2x + 2023$的值为（ ）
A.2020 B.2021 C.2022 D.2023
A.2020 B.2021 C.2022 D.2023
答案：
C
解析：由$x^2 = 1 - x$，$x^4=(1 - x)^2=1 - 2x + x^2=1 - 2x + 1 - x=2 - 3x$，$x^3=x \cdot x^2=x(1 - x)=x - x^2=x - (1 - x)=2x - 1$，代入原式=2 - 3x + 2(2x - 1)-(1 - x)-2x + 2023=2 - 3x + 4x - 2 - 1 + x - 2x + 2023=2022。
解析：由$x^2 = 1 - x$，$x^4=(1 - x)^2=1 - 2x + x^2=1 - 2x + 1 - x=2 - 3x$，$x^3=x \cdot x^2=x(1 - x)=x - x^2=x - (1 - x)=2x - 1$，代入原式=2 - 3x + 2(2x - 1)-(1 - x)-2x + 2023=2 - 3x + 4x - 2 - 1 + x - 2x + 2023=2022。
7.若实数a，b满足$a^{2}+b^{2}=1$，则$ab + a + 3b$的最小值为（ ）
A.-3 B.-2 C.1 D.3
A.-3 B.-2 C.1 D.3
答案：
A
解析：令$a = \cos\theta$，$b = \sin\theta$，则$ab + a + 3b=\cos\theta\sin\theta + \cos\theta + 3\sin\theta$，设$t = \sin\theta + \cos\theta$，$t\in[-\sqrt{2},\sqrt{2}]$，$\sin\theta\cos\theta=\frac{t^2 - 1}{2}$，原式=$\frac{t^2 - 1}{2} + t + 2\sin\theta$，再令$\sin\theta = \frac{t - \cos\theta}{1}$，化简得二次函数，最小值为-3。
解析：令$a = \cos\theta$，$b = \sin\theta$，则$ab + a + 3b=\cos\theta\sin\theta + \cos\theta + 3\sin\theta$，设$t = \sin\theta + \cos\theta$，$t\in[-\sqrt{2},\sqrt{2}]$，$\sin\theta\cos\theta=\frac{t^2 - 1}{2}$，原式=$\frac{t^2 - 1}{2} + t + 2\sin\theta$，再令$\sin\theta = \frac{t - \cos\theta}{1}$，化简得二次函数，最小值为-3。
8.从前，一位庄园主把一块长为a米，宽为b米（a＞b＞100）的长方形土地租给户主张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的长增加10米，宽减少10米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（ ）
A.变小了 B.变大了 C.没有变化 D.无法确定
A.变小了 B.变大了 C.没有变化 D.无法确定
答案：
A
解析：原面积$S = ab$，变化后面积$S'=(a + 10)(b - 10)=ab - 10a + 10b - 100$，$S - S'=10a - 10b + 100=10(a - b) + 100＞0$，所以面积变小了。
解析：原面积$S = ab$，变化后面积$S'=(a + 10)(b - 10)=ab - 10a + 10b - 100$，$S - S'=10a - 10b + 100=10(a - b) + 100＞0$，所以面积变小了。
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