《2025年学业水平评价八年级数学上册人教版》

21.(8分)如图,△ABC中,D为BC上一点,∠C=∠BAD,△ABC的角平分线BE交AD于点F.
(1)求证:∠AEF=∠AFE.
(2)G为BC上一点且FE平分∠AFG,求证:AB=GB.

答案：
(1)
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∵∠AEF=∠ABE + ∠BAD，∠AFE=∠CBE + ∠C，
又
∵∠C=∠BAD，
∴∠AEF=∠AFE；
(2)
∵∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，
∵FE平分∠AFG，
∴∠AFE=∠GFE，
在△AFE和△GFE中，
∠AFE=∠GFE，FE=FE，∠AEF=∠GEF，
∴△AFE≌△GFE(ASA)，
∴AE=GE，AF=GF，
∴GE=AF=GF，
∴∠FGE=∠FEG，
∵∠ABG=2∠CBE，∠BGF=∠FGE=∠FEG=∠AEF=∠ABE + ∠BAD=∠CBE + ∠C，
又
∵∠C=∠BAD，∠ABC=2∠CBE，∠BAC=∠BAD + ∠DAC，
通过角的等量代换可得∠BAG=∠BGA，
∴AB=GB

22.(10分)如图,在△ABC中,∠ABC=45°,CD⊥AB,BE⊥AC,CD与BE相交于点F.
(1)求证:△ACD≌△FBD.
(2)若FD=3,CD=4,求△ABC的面积.

答案：
(1)
∵CD⊥AB，∠ABC=45°，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴BD=CD，
∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠ADC=∠BDF=∠BEC=90°，
∠A + ∠ABE=90°，∠A + ∠ACD=90°，
∴∠ABE=∠ACD，
在△ACD和△FBD中，
∠ACD=∠FBD，CD=BD，∠ADC=∠BDF，
∴△ACD≌△FBD(ASA)；
(2)
∵CD=4，FD=3，
∴CF=CD - FD=1，
由
(1)得AD=FD=3，
AB=AD + BD=3 + 4=7，
S△ABC=1/2·AB·CD=1/2×7×4=14

23.(10分)如图所示,在△ABC中,AD为中线,过点C作CE⊥AD于点E,延长DA至点F,连接FC.若∠F=∠BAD,求证:AF=2DE.

答案： 延长AD至G使DG=AD，连接CG，
∵AD为中线，
∴BD=CD，
在△ABD和△GCD中，
AD=GD，∠ADB=∠GDC，BD=CD，
∴△ABD≌△GCD(SAS)，
∴∠BAD=∠G，
∵∠F=∠BAD，
∴∠F=∠G，
∴CF=CG，
∵CE⊥AD，
∴EF=EG，
∵AG=AD + DG=2AD，
AF=AG - FG=2AD - 2DE=2(AD - DE)=2AE，
又
∵AE=AD - DE，
∴AF=2DE

24.(12分)探索与证明：
(1)如图1,直线m经过等边三角形ABC的顶点A,在直线m上取两点D,E,使得∠ADB=60°,∠AEC=60°.通过观察或测量,猜想线段BD,CE与DE之间满足的数量关系,并予以证明.
(2)将(1)中的直线m绕着点A逆时针方向旋转一个角度到如图2的位置,并使∠ADB=120°,∠AEC=120°.通过观察或测量,猜想线段BD,CE与DE之间满足的数量关系,并予以证明.

答案：
(1)BD + CE=DE，
证明：在DE上截取DF=BD，连接BF，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠BAC=60°，
∵∠ADB=60°，
∴△BDF是等边三角形，
∴BD=BF，∠DBF=60°，
∴∠ABF=∠ABC - ∠FBC=60° - ∠FBC，
∠DBC=∠DBF - ∠FBC=60° - ∠FBC，
∴∠ABF=∠DBC，
在△ABF和△CBD中，
AB=CB，∠ABF=∠CBD，BF=BD，
∴△ABF≌△CBD(SAS)，
∴AF=CD，∠BAF=∠BCD，
同理可证△ACE≌△BCF，
∴CE=EF，
∴DE=DF + EF=BD + CE；
(2)BD + DE=CE，
证明：在CE上截取CF=BD，连接AF，
∵∠ADB=120°，∠AEC=120°，
∴∠ADB + ∠AEC=240°，
∠DAE=360° - 120° - 120° - ∠BAC=60°，
∵AB=AC，∠ABD=∠ACF=60°，BD=CF，
∴△ABD≌△ACF(SAS)，
∴AD=AF，∠BAD=∠CAF，
∴∠DAF=∠BAC=60°，
∴△ADF是等边三角形，
∴DF=AD=AF，
∴CE=CF + FE=BD + DE