《2025年学业水平评价八年级数学上册人教版》

20.（8分）已知$(a + b)^{2}=13$，$(a - b)^{2}=5$，
（1）求$a^{2}+b^{2}$，ab的值；
（2）求$a^{4}-a^{2}b^{2}+b^{4}$的值.

答案： （1）$a^{2}+b^{2}=9$，$ab = 2$
解析：$(a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}=13$，$(a - b)^{2}=a^{2}-2ab + b^{2}=5$。两式相加，$2(a^{2}+b^{2})=18$，$a^{2}+b^{2}=9$；两式相减，$4ab = 8$，$ab = 2$。
（2）77
解析：$a^{4}-a^{2}b^{2}+b^{4}=(a^{2}+b^{2})^{2}-3a^{2}b^{2}$，由（1）知$a^{2}+b^{2}=9$，$ab = 2$，$a^{2}b^{2}=4$，所以$9^{2}-3×4=81 - 12=69$。（注：原解析计算有误，正确应为$(a^{2}+b^{2})^{2}-3a^{2}b^{2}=81 - 3×4=69$，答案应为69）

21.（10分）阅读理解：
已知$a + b=-4$，$ab = 3$，求$a^{2}+b^{2}$的值.
解：$\because a + b=-4$，$\therefore(a + b)^{2}=(-4)^{2}$.
即$a^{2}+2ab + b^{2}=16$.
$\because ab = 3$，$\therefore a^{2}+b^{2}=10$.
参考上述过程解答：
（1）已知$a - b=-3$，$ab=-2$.求式子$(a - b)(a^{2}+b^{2})$的值；
（2）若$m - n - p=-10$，$(m - p)n=-12$，求式子$(m - p)^{2}+n^{2}$的值.

答案： （1）-15
解析：$(a - b)^{2}=a^{2}-2ab + b^{2}=9$，$a^{2}+b^{2}=9 + 2ab=9 + 2×(-2)=5$，则$(a - b)(a^{2}+b^{2})=-3×5=-15$。
（2）76
解析：设$m - p = x$，则$x - n=-10$，即$x - n=-10$，$n = x + 10$。$xn=-12$，$x(x + 10)=-12$，$x^{2}+10x + 12=0$。$(m - p)^{2}+n^{2}=x^{2}+n^{2}=x^{2}+(x + 10)^{2}=2x^{2}+20x + 100=2(x^{2}+10x)+100$，由$x^{2}+10x=-12$，得$2×(-12)+100=76$。

22.（8分）已知，长方形的周长为30 cm，两相邻的边长为x cm，y cm，且$x^{3}+x^{2}y-4xy^{2}-4y^{3}=0$，求长方形的面积.

答案： 50$cm^{2}$
解析：对$x^{3}+x^{2}y-4xy^{2}-4y^{3}=0$因式分解，$x^{2}(x + y)-4y^{2}(x + y)=0$，$(x + y)(x^{2}-4y^{2})=0$，$(x + y)(x - 2y)(x + 2y)=0$。因为x,y为正数，$x + y\neq0$，$x + 2y\neq0$，所以$x - 2y = 0$，$x = 2y$。长方形周长$2(x + y)=30$，$x + y = 15$，$2y + y = 15$，$y = 5$，$x = 10$，面积$xy = 50$。