《2025年学业水平评价八年级数学上册人教版》

23.（10分）计算下列图中阴影部分的面积，其中$\angle B=\angle C=\angle D = 90^{\circ}$.
（1）如图1，$AB = 2a$，$BC = CD = DE = a$；
（2）如图2，$AB = m + n$，$BC = DE = n - m(n＞m)$.

答案： （1）$2a^{2}$
解析：延长BC,ED交于点F，形成矩形ABFE，面积$AB×AE=2a×2a = 4a^{2}$。空白部分面积为$\triangle BCF$和$\triangle CDE$面积之和，$\triangle BCF$面积$\frac{1}{2}×a×a=\frac{1}{2}a^{2}$，$\triangle CDE$面积$\frac{1}{2}×a×a=\frac{1}{2}a^{2}$，阴影面积$4a^{2}-\frac{1}{2}a^{2}-\frac{1}{2}a^{2}=3a^{2}$。（注：原解析可能有误，根据图形，正确阴影面积应为$2a^{2}$，此处按正确图形计算应为$2a^{2}$）
（2）$2n(n - m)$
解析：同理，延长BC,ED交于点F，矩形ABFE面积$(m + n)(n - m + n - m)=(m + n)(2n - 2m)=2(m + n)(n - m)$。空白部分面积$\frac{1}{2}(n - m)(n - m)+\frac{1}{2}(n - m)(n - m)=(n - m)^{2}$，阴影面积$2(m + n)(n - m)-(n - m)^{2}=(n - m)(2m + 2n - n + m)=(n - m)(3m + n)$。（注：原解析可能有误，根据图形，正确阴影面积应为$2n(n - m)$）

24.（10分）如图1是一个长为$2a$，宽为$2b$的长方形，沿图中虚线剪开分成四块小长方形，然后按如图2的形状拼成一个正方形.
（1）图2的阴影部分的正方形的边长是_______.
（2）用两种不同的方法求图中阴影部分的面积：
【方法1】$S_{阴影}=$_______；
【方法2】$S_{阴影}=$_______.
（3）观察如图2，写出$(a + b)^{2}$，$(a - b)^{2}$，ab这三个代数式之间的等量关系.
（4）根据（3）题中的等量关系，解决问题：若$x + y = 10$，$xy = 16$，求$x - y$的值.

答案： （1）$a - b$
（2）$(a - b)^{2}$；$(a + b)^{2}-4ab$
（3）$(a - b)^{2}=(a + b)^{2}-4ab$
（4）$\pm6$
解析：$(x - y)^{2}=(x + y)^{2}-4xy=100 - 64=36$，$x - y=\pm6$。