《2025年学业水平评价八年级数学上册人教版》

21. (8分)已知：在△ABC中，∠ACB=90°，点P是线段AC上一点，过点A作AB的垂线，交BP的延长线于点M，MN⊥AC于点N，PQ⊥AB于点Q，AQ=MN。求证：PC=AN。

答案： 证明：
∵∠ACB=90°，MA⊥AB，MN⊥AC，PQ⊥AB，
∴∠MAN=∠AQP=90°，∠MNA=∠ACB=90°。
∴∠AMN+∠MAN=90°，∠BAC+∠MAN=90°，
∴∠AMN=∠BAC。
在△AMN和△BAQ中，
∠AMN=∠BAC，
∠MNA=∠AQB=90°，
MN=AQ，
∴△AMN≌△BAQ(AAS)，
∴AN=BQ，AM=AB。
∵∠ABP=∠ABP，∠BAM=∠BCA=90°，
∴△ABM∽△CBP，
∴AM/BC=AB/PC，
∵AM=AB，
∴BC=PC+AN，
又
∵BC=BQ+QC=AN+QC，
∴PC=AN。

22. (8分)如图，AC平分∠BAD，∠B+∠D=180°，CE⊥AD于点E，AD=18cm，AB=11cm，求DE的长度。

答案： 3.5cm
解析：过C作CF⊥AB交AB延长线于F。
∵AC平分∠BAD，CE⊥AD，CF⊥AB，
∴CE=CF，AF=AE。
∵∠B+∠D=180°，∠ABC+∠FBC=180°，
∴∠D=∠FBC。
在△CDE和△CBF中，
∠D=∠FBC，
∠CED=∠CFB=90°，
CE=CF，
∴△CDE≌△CBF(AAS)，
∴DE=BF，CD=BC。
设DE=x，则BF=x，AE=AD-DE=18-x，AF=AB+BF=11+x，
∵AF=AE，
∴11+x=18-x，
解得x=3.5，即DE=3.5cm。

23. (10分)如图，在△ABC中，点M，N分别在AB，AC上，点D在BC上，且MD⊥DN。若BD=CD，求证：MN＜BM+CN。

答案： 证明：延长ND至E使DE=DN，连接BE，ME。
∵BD=CD，∠BDE=∠CDN，DE=DN，
∴△BDE≌△CDN(SAS)，
∴BE=CN。
∵MD⊥DN，DE=DN，
∴ME=MN。
在△BME中，BM+BE＞ME，
∵BE=CN，ME=MN，
∴BM+CN＞MN，即MN＜BM+CN。

24. (12分)如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E。
(1)求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE。
(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，DE，AD，BE有怎样的关系？并加以证明。

答案：
(1)证明：①
∵∠ACB=90°，AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠BCE=∠CAD。
在△ADC和△CEB中，
∠CAD=∠BCE，
∠ADC=∠CEB，
AC=BC，
∴△ADC≌△CEB(AAS)。
②
∵△ADC≌△CEB，
∴AD=CE，CD=BE，
∴DE=CD+CE=AD+BE。
(2)DE=AD-BE
证明：同理可证△ADC≌△CEB，
∴AD=CE，CD=BE，
∴DE=CE-CD=AD-BE。