《2025年学业水平评价八年级数学上册人教版》

22.（10分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E为AC的中点,DA⊥AB交BE延长线于点D，CF平分∠ACB交BD于点F.求证：（1）AD=CF；（2）点F为BD的中点.

答案： （1）证明：因为∠ACB=90°，AC=BC，CF平分∠ACB，所以∠CAB=∠CBA=45°，∠ACF=∠BCF=45°。DA⊥AB，所以∠DAB=90°，∠DAC=∠DAB -∠CAB=45°=∠ACF。E为AC中点，所以AE=CE。在△ADE和△CFE中，∠DAE=∠FCE，AE=CE，∠AED=∠CEF，所以△ADE≌△CFE（ASA），所以AD=CF。
（2）证明：在△ADF和△CBF中，AD=CF，∠DAF=∠BCF=45°，∠ADF=∠CBF（因为∠ADB=∠CFB，对顶角相等），所以△ADF≌△CBF（ASA），所以DF=BF，即点F为BD的中点。

23.（10分）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC＞CD，CA平分∠BCD，过点A作AE⊥BC，垂足为E.
（1）求证：CE=CD+BE；
（2）如果CE=3BE，求S△ABC:S△ACD的值.

答案： （1）证明：在BC上截取CF=CD，连接AF。因为CA平分∠BCD，所以∠ACF=∠ACD。在△ACF和△ACD中，CF=CD，∠ACF=∠ACD，AC=AC，所以△ACF≌△ACD（SAS），所以AF=AD。因为AB=AD，所以AF=AB。因为AE⊥BC，所以EF=BE（等腰三角形三线合一）。因为CE=CF+EF=CD+BE，所以CE=CD+BE。
（2）解：设BE=EF=x，则CE=3x，CF=CD=CE - EF=3x - x=2x，BC=BE + CE=x + 3x=4x。S△ABC=1/2×BC×AE=1/2×4x×AE=2x·AE，S△ACD=S△ACF=1/2×CF×AE=1/2×2x×AE=x·AE，所以S△ABC:S△ACD=2x·AE:x·AE=2:1。

24.（12分）某校八（1）班学生到野外活动，为测量一池塘两端A，B之间的距离，设计出如下几种方案：
①如图1所示，先在平地上取一个可直接到达A，B的点C，再连接AC，BC，并分别延长AC至点D,BC至点E，使DC=AC，EC=BC，最后测出DE的距离即为AB的长.
②如图2所示，过点B作AB的垂线BF，再在BF上取C，D两点，使BC=CD，接着过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于点E，测出DE的长即为AB的长.
阅读后回答下列问题：
（1）方案①是否可行？答：______，理由是______；
（2）方案②是否可行？答：______，理由是______；
（3）方案②中作DB⊥AB，ED⊥BF的目的是______，若仅满足∠ABD=∠BDE≠90°，方案②的结论是否仍成立，答：______.

答案： （1）可行；△ABC≌△DEC（SAS），所以AB=DE
（2）可行；△ABC≌△EDC（ASA），所以AB=DE
（3）使∠ABC=∠EDC=90°；成立
解析：（1）在△ABC和△DEC中，AC=DC，∠ACB=∠DCE，BC=EC，所以△ABC≌△DEC（SAS），AB=DE，可行。
（2）因为DB⊥AB，ED⊥BF，所以∠ABC=∠EDC=90°，在△ABC和△EDC中，∠ABC=∠EDC，BC=DC，∠ACB=∠ECD，所以△ABC≌△EDC（ASA），AB=DE，可行。
（3）作DB⊥AB，ED⊥BF的目的是构造直角，使∠ABC=∠EDC=90°。若仅满足∠ABD=∠BDE≠90°，仍可利用ASA证明△ABC≌△EDC，结论仍成立。