《2025年学业水平评价八年级数学上册人教版》

12.已知正数a，b，c是△ABC三边的长，而且使等式$a^{2}-c^{2}+ab - bc = 0$成立，则△ABC是 三角形。

答案： 等腰
解析：$a^2 - c^2 + ab - bc=(a - c)(a + c) + b(a - c)=(a - c)(a + c + b)=0$，a + c + b＞0，所以a - c=0，a=c，等腰三角形。

13.如果长方体的长为$3a - 4$，宽为$2a$，高为a，则它的体积是 。

答案： $6a^3 - 8a^2$
解析：体积$=(3a - 4)×2a×a=(3a - 4)×2a^2=6a^3 - 8a^2。$

14.若$x + y = 3$且$xy = 1$，那么代数式$x^{2}-2xy + 3y$的值为 。

答案： 2
解析：$x^2=3x - 1$，原式=3x - 1 - 2×1 + 3y=3(x + y) - 3=3×3 - 3=6，原答案错误，正确：$x=3 - y$，代入xy=1得(3 - y)y=1，$y^2 - 3y + 1=0$，$x^2 - 2xy + 3y=(3 - y)^2 - 2×1 + 3y=9 - 6y + y^2 - 2 + 3y=y^2 - 3y + 7=1 + 7=8$，原答案2错误。

15.若$(x + m)$与$(x + 3)$的乘积中不含x的一次项，则$m=$ 。

答案： -3
解析：$(x + m)(x + 3)=x^2 + (m + 3)x + 3m$，不含x一次项，m + 3=0，m=-3。

16.已知$a+\frac{1}{a}=\sqrt{15}$，则$a-\frac{1}{a}$的值为 。

答案： $\pm\sqrt{11}$
解析：$(a - \frac{1}{a})^2=(a + \frac{1}{a})^2 - 4=15 - 4=11$，所以$a - \frac{1}{a}=\pm\sqrt{11}$。

17.(12分)分解因式：
(1)$x^{2}-25x$；
(2)$x(x + y)-y(x + y)$；
(3)$(x - y)^{2}+4xy$；
(4)$x^{2}y - 2xy - 3y$。

答案：
(1)$x(x - 25)$
解析：提取公因式x；
(2)$(x + y)(x - y)$
解析：提取公因式(x + y)；
(3)$(x + y)^2$
解析：展开得$x^2 - 2xy + y^2 + 4xy=x^2 + 2xy + y^2=(x + y)^2$；
(4)$y(x - 3)(x + 1)$
解析：提取y得$y(x^2 - 2x - 3)=y(x - 3)(x + 1)$。

18.(6分)利用因式分解计算：
(1)$503^{2}-497^{2}$；
(2)$172^{2}+56×172 + 28^{2}$。

答案：
(1)6000
解析：$(503 - 497)(503 + 497)=6×1000=6000$；
(2)40000
解析：$(172 + 28)^2=200^2=40000$。

19.(8分)先化简，再求值：
(1)$(2x + y)^{2}+(x - y)(x + y)-5x(x - y)$，其中$x=\sqrt{2}+1$，$y=1-\sqrt{2}$；
(2)$4x^{3}y - 9xy^{3}$，其中$x=-1$，$y=2$。

答案：
(1)-4
解析：原式=4x^2 + 4xy + y^2 + x^2 - y^2 - 5x^2 + 5xy=9xy，代入x=$\sqrt{2}+1$，y=1 - $\sqrt{2}$，得9×[($\sqrt{2}+1)(1 - \sqrt{2})]=9×(1 - 2)=-9$，原答案-4错误；
(2)28
解析：原式=xy(4x^2 - 9y^2)=xy(2x - 3y)(2x + 3y)，代入x=-1，y=2，得(-1)×2×(-2 - 6)(-2 + 6)=(-2)×(-8)×4=64，原答案28错误。