《2025年新课程学习指导八年级数学上册华师大版》

1. 试用你喜欢的方式表述勾股定理,并说一说它是如何被发现的.

答案： 表述：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。若直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，则a²+b²=c²。
发现：中国古代称直角三角形为勾股形，直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦，西周时期商高提出“勾三股四弦五”，后《周髀算经》记载；古希腊数学家毕达哥拉斯也发现了该定理，西方称其为毕达哥拉斯定理。

2. 根据自己的认识说一说勾股定理的逆定理与勾股定理的联系与区别.

答案： 联系：
1. 两者都涉及直角三角形的边长关系。
2. 勾股定理的逆定理的证明需用到勾股定理。
区别：
1. 勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方（条件是直角三角形，结论是边的数量关系）。
2. 逆定理：若三角形三边满足两短边平方和等于长边平方，则该三角形是直角三角形（条件是边的数量关系，结论是直角三角形）。
3. 勾股定理是直角三角形的性质定理，逆定理是直角三角形的判定定理。

3. 试在数轴上作出表示$\sqrt{3}$,$\sqrt{5}$,$\sqrt{19}$的点,并说一说在数轴上表示无理数的方法.

答案： 1. 作√3的点：
在数轴上取原点O
(0)，点A
(1)，过A作数轴垂线，截取AB=1，连接OB，OB=√(1²+1²)=√2；
过B作数轴垂线，截取BC=1，连接OC，OC=√[(√2)²+1²]=√3；
以O为圆心，OC为半径画弧，交数轴正半轴于点P，则P表示√3。
2. 作√5的点：
在数轴上取原点O
(0)，点D
(2)，过D作数轴垂线，截取DE=1，连接OE，OE=√(2²+1²)=√5；
以O为圆心，OE为半径画弧，交数轴正半轴于点Q，则Q表示√5。
3. 作√19的点：
在数轴上取原点O
(0)，点F
(4)，过F作数轴垂线，截取FG=√3（已构造），连接OG，OG=√(4²+(√3)²)=√19；
以O为圆心，OG为半径画弧，交数轴正半轴于点R，则R表示√19。
方法：利用勾股定理构造直角三角形，使斜边为所求无理数，以原点为圆心、斜边为半径画弧，与数轴正半轴交点即为表示该无理数的点。

4. 结合实例说一说判定一个三角形是不是直角三角形的方法有哪些.

答案： 1. 勾股定理的逆定理：若三角形三边长a、b、c满足$a^2 + b^2 = c^2$（c为最长边），则该三角形是直角三角形。实例：三边长为3、4、5，因为$3^2 + 4^2 = 5^2$，所以是直角三角形。
2. 有一个角是直角的三角形是直角三角形。实例：三角形中有一个角为$90°$，则该三角形是直角三角形。
3. 有两个角互余的三角形是直角三角形。实例：三角形中两个角分别为$30°$和$60°$，两角之和为$90°$，则第三个角为$90°$，是直角三角形。

5. 结合实例说一说如何应用勾股定理及其逆定理解决生产、生活中的实际问题.

答案： 勾股定理应用实例：测量不可直接到达两点距离
问题：测量池塘两端A、B的距离（无法直接测量）。
方法：在平地上选一点C，使AC⊥BC，测得AC=6m，BC=8m，求AB。
应用定理：勾股定理（直角三角形两直角边平方和等于斜边平方）。
计算：AB²=AC²+BC²=6²+8²=36+64=100，故AB=10m。
结论：池塘两端距离为10m。
勾股定理逆定理应用实例：判断垂直关系
问题：建筑工人检查墙面是否与地面垂直。
方法：在墙面上从墙角向上量3m标记点D，地面上从墙角向外量4m标记点E，测量DE长度。
应用定理：勾股定理逆定理（若三角形三边a,b,c满足a²+b²=c²，则为直角三角形）。
计算：若DE=5m，因3²+4²=9+16=25=5²，由逆定理知∠DCE=90°。
结论：墙面与地面垂直。

例 1 (1)已知直角三角形的两边长是$3cm和4cm$,求第三边的长.
(2)一个等腰三角形的周长为$14cm$,一条边长为$4cm$,求底边上的高.
(1)分析：已知直角三角形的两边长不相等,并且没有指明是直角边还是斜边,因此应分两种情况考虑,即把这两条边都看作直角边,或一条为直角边,另一条为斜边.
(2)分析：等腰三角形的一条边长为$4cm$,没有说明该边是腰还是底边,因此应分两种情况考虑,即腰长为$4cm$,或底边长为$4cm$,同时要满足三角形任意两边之和大于第三边这个条件.
思考：一个等腰三角形的周长为$16cm$,一边长为$4cm$,底边上的高是多少？
评析：解决此类问题,往往会受思维定式影响,导致遗漏问题的解.如问题(1),会习惯认为$3cm和4cm$就是两条直角边,斜边当然是$5cm$了；如问题(2),会把边长为$4cm$看作底边.这也启示我们,平时解决问题中,要尽量避免形成思维定式,思考问题要全面,会变换角度思考,善于运用分类处理问题的方法.

答案：
(1)
当$4cm$是直角边时：
由勾股定理，第三边（斜边）长为$\sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5(cm)$。
当$4cm$是斜边时：
由勾股定理，第三边（直角边）长为$\sqrt{4^{2} - 3^{2}} = \sqrt{7}(cm)$。
所以第三边的长为$5cm$或$\sqrt{7}cm$。
(2)
若$4cm$是底边：
腰长为$\frac{16 - 4}{2} = 6(cm)$。
由勾股定理，底边上的高为$\sqrt{6^{2} - 2^{2}} = 4\sqrt{2}(cm)$（底边一半为$2cm$）。
若$4cm$是腰长：
底边长为$16 - 2×4 = 8(cm)$。
由于$4 + 4 = 8$，不满足三角形三边关系（任意两边之和大于第三边），所以不能构成三角形，此情况舍去。
所以底边上的高为$4\sqrt{2}cm$（根据题目修改后周长为$16cm$，原思考题目）。