《2025年新课程学习指导八年级数学上册华师大版》

16. $(x-\frac{4}{5})(x^{2}+\frac{16}{25})(x+\frac{4}{5})$.

答案： $x^{4}-\frac{256}{625}$

17. 计算$(a-1)(a+1)(a^{2}+1)(a^{4}+1)$的过程如下：
原式$=(a^{2}-1)(a^{2}+1)(a^{4}+1)$
$=(a^{4}-1)(a^{4}+1)= a^{8}-1$.
利用上面的方法,计算下列各题：
(1)$(a-1)(a+1)(a^{2}+1)(a^{4}+1)(a^{8}+1)…(a^{256}+1)$.
(2)$(2+1)(2^{2}+1)(2^{4}+1)…(2^{2n}+1)+1$.($n$为正整数)

答案：
(1)解:原式$=(a^{2}-1)(a^{2}+1)(a^{4}+1)(a^{8}+1)\cdots(a^{256}+1)$
$=(a^{4}-1)(a^{4}+1)(a^{8}+1)\cdots(a^{256}+1)$
$=\cdots=(a^{256}-1)(a^{256}+1)$
$=a^{512}-1$.
(2)解:原式$=(2-1)(2+1)(2^{2}+1)(2^{4}+1)\cdots(2^{2n}+1)+1$
$=(2^{2}-1)(2^{2}+1)(2^{4}+1)\cdots(2^{2n}+1)+1$
$=(2^{4}-1)(2^{4}+1)\cdots(2^{2n}+1)+1$
$=\cdots=2^{4n}-1+1=2^{4n}$.

18. 设$a是无理数\sqrt{5}$的小数部分.
(1)比较$a与\sqrt{5}-2$的大小.
(2)求代数式$a\cdot(\sqrt{5}+2)$的值.

答案： 提示:
(1)$\because 2＜\sqrt{5}＜3$，$\therefore a=\sqrt{5}-2$，
(2)$a\cdot(\sqrt{5}+2)=(\sqrt{5})^{2}-2^{2}=1$.

19. 根据平方根的意义,利用平方差公式进行计算,并将这种方法拓展应用：
(1)$(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})$.
(2)$(\sqrt{7}+\sqrt{6})(\sqrt{7}-\sqrt{6})$.
(3)$\frac{1}{\sqrt{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+…+\frac{1}{\sqrt{10}+\sqrt{9}}$.
(4)比较$(\sqrt{59}-\sqrt{58})与(\sqrt{99}-\sqrt{98})$的大小关系.

答案： 提示:
(1)原式$=(\sqrt{3})^{2}-(\sqrt{2})^{2}=3-2=1$.
(2)原式$=(\sqrt{7})^{2}-(\sqrt{6})^{2}=7-6=1$.
(3)原式$=\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+\cdots+\sqrt{10}-\sqrt{9}=\sqrt{10}-1$.
(4)$\sqrt{59}-\sqrt{58}=\frac{1}{\sqrt{59}+\sqrt{58}}$，
$\sqrt{99}-\sqrt{98}=\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{98}}$，
由于$\sqrt{59}+\sqrt{58}＜\sqrt{99}+\sqrt{98}$，
所以$\sqrt{59}-\sqrt{58}＞\sqrt{99}-\sqrt{98}$.