《2025年新课程学习指导八年级数学上册华师大版》

18. $M\cdot (3x - y^{2})= y^{4}-9x^{2}$,那么$M$表示的多项式是 【A】
A.$-3x - y^{2}$
B.$-y^{2}+3x$
C.$3x + y^{2}$
D.$3x - y^{2}$

答案： A

19. 图 6 - 2 - 1 是用火柴棍摆成边长分别是 1,2,3 根火柴棍长的正方形,当边长为$n$根火柴棍长时,摆出的正方形所用的火柴棍的根数(用含$n$的式子表示,$n$为正整数)为 【B】

A.$2n^{2}+n$
B.$2n^{2}+2n$
C.$n^{2}+2n$
D.$n^{2}+n$

答案： B

20. (10 分)计算题。
(1)(5 分)$(8x - 7y)(7y + 8x)-(7x + 8y)(7x - 8y)$。
(2)(5 分)$(ax + by)^{2}+(ay - bx)^{2}+(a^{2}-b^{2})(y^{2}-x^{2})$。

答案： $(1)$ 计算$(8x - 7y)(7y + 8x)-(7x + 8y)(7x - 8y)$
解：
根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$，则：
对于$(8x - 7y)(7y + 8x)$，这里$a = 8x$，$b = 7y$，所以$(8x - 7y)(7y + 8x)=(8x)^2-(7y)^2=64x^2 - 49y^2$。
对于$(7x + 8y)(7x - 8y)$，这里$a = 7x$，$b = 8y$，所以$(7x + 8y)(7x - 8y)=(7x)^2-(8y)^2=49x^2 - 64y^2$。
将上述结果代入原式可得：
$\begin{aligned}&(8x - 7y)(7y + 8x)-(7x + 8y)(7x - 8y)\\=&64x^2 - 49y^2-(49x^2 - 64y^2)\\=&64x^2 - 49y^2 - 49x^2 + 64y^2\\=&(64x^2 - 49x^2)+(64y^2 - 49y^2)\\=&15x^2 + 15y^2\end{aligned}$
$(2)$ 计算$(ax + by)^{2}+(ay - bx)^{2}+(a^{2}-b^{2})(y^{2}-x^{2})$
解：
根据完全平方公式$(m+n)^2=m^2 + 2mn + n^2$，$(m - n)^2=m^2 - 2mn + n^2$，则：
$(ax + by)^{2}=a^{2}x^{2}+2abxy + b^{2}y^{2}$。
$(ay - bx)^{2}=a^{2}y^{2}-2abxy + b^{2}x^{2}$。
将上述结果代入原式可得：
$\begin{aligned}&(ax + by)^{2}+(ay - bx)^{2}+(a^{2}-b^{2})(y^{2}-x^{2})\\=&a^{2}x^{2}+2abxy + b^{2}y^{2}+a^{2}y^{2}-2abxy + b^{2}x^{2}+(a^{2}y^{2}-a^{2}x^{2}-b^{2}y^{2}+b^{2}x^{2})\\=&a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}+a^{2}y^{2}+b^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}-a^{2}x^{2}-b^{2}y^{2}+b^{2}x^{2}\\=&(a^{2}x^{2}-a^{2}x^{2})+(b^{2}y^{2}-b^{2}y^{2})+(a^{2}y^{2}+a^{2}y^{2})+(b^{2}x^{2}+b^{2}x^{2})\\=&2a^{2}y^{2}+2b^{2}x^{2}\end{aligned}$
综上，$(1)$的结果为$\boldsymbol{15x^2 + 15y^2}$；$(2)$的结果为$\boldsymbol{2a^{2}y^{2}+2b^{2}x^{2}}$。

21. (12 分)化简、求值题。
(1)(6 分)若$x = y = - 3$,$z = 2$,化简并求$(xy+\frac{1}{2}yz)[(2xy+\frac{1}{2}yz)-(xy + yz)]÷\frac{1}{2}y^{2}$的值。
(2)(6 分)已知$a= \frac{1}{2}$,化简并求代数式$(a^{2}+2)^{2}-(a + 2)(a - 2)(a^{2}+4)$的值。

答案：
(1)原式$=2x^{2}-\dfrac{1}{2}z^{2}$,把$x$,$z$的值代入,原式$=18-2=16$.
(2)原式$=4a^{2}+20$,把$a$的值代入,原式$=21$.