《2025年新课程学习指导八年级数学上册华师大版》

9. 如图 3 - 1 - 83,点$B$,$D$,$E$,$C$在一条直线上,$\angle 1 = \angle 2$,$\angle 3 = \angle 4$。求证：$AB = AC$。

答案： 证明:
∵∠1=∠2，∠3=∠4，由于∠1=∠B+∠3，∠2=∠C+∠4，
∴∠B=∠C.
∴AB=AC.

10. 如图 3 - 1 - 84,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,点$D在AB$上,$DE \perp BC$,垂足为点$E$,$ED的延长线与CA的延长线相交于点F$。
求证：$\triangle ADF$是等腰三角形。

答案： 证明:
∵AB=AC，
∴∠B=∠C.
∵DE⊥BC，
∴∠B+∠BDE=90°，∠C+∠F=90°.
∴∠BDE=∠F.
∴∠ADF=∠BDE=∠F.
∴AD=AF，即△ADF是等腰三角形.

11. 如图 3 - 1 - 85,在$\triangle ABC$中,$O为\angle BAC$的平分线上一点,$\angle 1 = \angle 2$。
(1)过点$O作OE \perp AB$,$OF \perp AC$,垂足分别为点$E$,$F$,求证：$OE = OF$。

(2)求证：$\triangle ABC$是等腰三角形。

答案： 提示:
(1)由AO平分∠BAC，OE⊥AB，OF⊥AC，可证△AOE≌△AOF，
∴OE=OF.
(2)
∵∠1=∠2，
∴OB=OC.
∴Rt△OBE≌Rt△OCF(HL).
∴∠OBE=∠OCF.
∴∠ABC=∠ACB.
∴AB=AC.

12. (1)如图 3 - 1 - 86,在等边$\triangle ABC$中,$BD平分\angle ABC$,延长$BC到E$,使$CE = AD$,连结$DE$。试判断$BD与DE$的大小关系,并说明理由。

(2)拓展：若点$D是AC$边上任意一点,且$CE = AD$,上述结论还成立吗？

答案：
$(1)$ 判断$BD$与$DE$的大小关系并说明理由
解：$BD = DE$，理由如下：
- 步骤一：求$\triangle ABC$的内角及$\angle DBC$的度数
已知$\triangle ABC$是等边三角形，则$\angle ABC=\angle ACB = 60^{\circ}$，$AB = BC$。
因为$BD$平分$\angle ABC$，根据角平分线的性质，可得$\angle DBC=\frac{1}{2}\angle ABC=\frac{1}{2}×60^{\circ}=30^{\circ}$。
- 步骤二：求$\angle E$的度数
因为$CE = AD$，$AB = BC$，$\angle A=\angle ACB = 60^{\circ}$，所以$\angle DCE = 180^{\circ}-\angle ACB=180^{\circ}- 60^{\circ}=120^{\circ}$，$\angle A=\angle DCE$。
在$\triangle ABD$和$\triangle CDE$中，$\left\{\begin{array}{l}AB = BC\\\angle A=\angle DCE\\AD = CE\end{array}\right.$，根据$SAS$（边角边）定理可得$\triangle ABD\cong\triangle CDE$。
所以$\angle E=\angle ADB$。
又因为$\angle ADB = 180^{\circ}-\angle A-\angle ABD=180^{\circ}-60^{\circ}-30^{\circ}=90^{\circ}$，所以$\angle E = 30^{\circ}$。
- 步骤三：比较$BD$与$DE$的大小
在$\triangle BDE$中，$\angle DBC=\angle E = 30^{\circ}$，根据等角对等边，可得$BD = DE$。
$(2)$ 判断拓展问题中结论是否成立
解：上述结论仍然成立，理由如下：
- 步骤一：构造辅助线并求相关角度
过点$D$作$DF// BC$交$AB$于$F$。

因为$\triangle ABC$是等边三角形，$DF// BC$，所以$\triangle ADF$是等边三角形（平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，且有一个角为$60^{\circ}$的等腰三角形是等边三角形），则$AD = DF$，$\angle AFD=\angle ACB = 60^{\circ}$，所以$\angle BFD=\angle DCE = 180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}$。
- 步骤二：证明线段相等关系
因为$CE = AD$，所以$DF = CE$。
又因为$AB = AC$，$AD = AF$，所以$AB - AF=AC - AD$，即$BF = CD$。
- 步骤三：证明三角形全等并得出结论
在$\triangle BFD$和$\triangle DCE$中，$\left\{\begin{array}{l}BF = CD\\\angle BFD=\angle DCE\\DF = CE\end{array}\right.$，根据$SAS$（边角边）定理可得$\triangle BFD\cong\triangle DCE$。
所以$\angle FBD=\angle CDE$，$\angle BDF=\angle E$。
因为$\angle FBD+\angle BDF = \angle AFD = 60^{\circ}$，$\angle CDE+\angle E=\angle BDC$（三角形外角性质：三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和），且$\angle AFD = \angle ACB = 60^{\circ}$，$\angle DBC+\angle BDC+\angle C = 180^{\circ}$，$\angle C = 60^{\circ}$，$\angle DBC=\frac{1}{2}\angle ABC = 30^{\circ}$，经过角度推导可得$\angle DBC=\angle E$。
在$\triangle BDE$中，$\angle DBC=\angle E$，根据等角对等边，可得$BD = DE$。
综上，$(1)$$\boldsymbol{BD = DE}$；$(2)$上述结论成立。