《2025年新课程学习指导八年级数学上册华师大版》

4. 若一个正数的两个平方根是$2a - 4和3a - 1$,求$a$的值.
(1) 以下是甲、乙两名同学的不同解法,你认为哪名同学的有错误,请指出错误原因.
甲的解法：
根据平方根的意义,得
$(2a - 4)^2 = (3a - 1)^2$.
∴$2a - 4 = 3a - 1$.
解这个方程,得$a = -3$.
乙的解法：
已知$2a - 4和3a - 1$是一个正数的两个平方根,它们互为相反数,由此可得
$2a - 4 + 3a - 1 = 0$.
解这个方程,得$a = 1$.
(2) 利用上面的正确方法解答问题：
一个正数$x的两个平方根分别是4m - 1和4 - m$,求$m和x$的值.

答案： （1）甲有错误，若$(2a-4)^2=(3a-1)^2$，$2a-4=3a-1$不一定成立，如，$(-2)^2=2^2$，但$-2≠2$.
（2）由一个正数的两个平方根互为相反数可得$(4m-1)+(4-m)=0$. 解得$m=-1$.
∴$x=(4-m)^2=25$.

5. 化简：$(\sqrt{a - x})^2 - \sqrt{(x - a)^2}$.
(1) 下面是一名同学对该题目的解答过程,你认为他在哪一步出现了错误,说出错误原因,并予以更正.
解：根据算术平方根的意义知,$\sqrt{a - x}是非负数(a - x)$的算术平方根,$|x - a|是非负数(x - a)^2$的算术平方根,所以
原式 = $(a - x) - |x - a|$ ……… ①
= $a - x - (x - a)$ ………… ②
= $2a - 2x$. ………………… ③
(2) 利用上面获得的经验化简：
$|1 - \sqrt{2}| + \sqrt{(\sqrt{2} - \sqrt{3})^2}$

答案： （1）②步错. 由$\sqrt{a-x}$是非负数$(a-x)$的算术平方根可知$a≥x$，
∴$a-x-|x-a|=a-x-(a-x)=0$.
（2）原式$=\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}=\sqrt{3}-1$.