《2025年新课程学习指导八年级数学上册华师大版》

5. 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差,那么称这个正整数为“神秘数”。如 $ 4 = 2^{2} - 0^{2} $,$ 12 = 4^{2} - 2^{2} $,$ 20 = 6^{2} - 4^{2} $,因此 4,12,20 这三个数都是神秘数。
(1)根据你从以上各式中发现的规律判断 28 和 2012 是不是神秘数,并说明理由。
(2)设两个连续偶数为 $ 2k $ 和 $ 2k + 2 $(其中 $ k $ 取非负整数),由这两个连续偶数构造的神秘数有什么特点？
(3)两个连续奇数的平方差(取正数)是神秘数吗？为什么？

答案： 5.提示:
(1)$28=4× 7=4× (4+3)× (4-3)=(2× 4)^{2}-(2× 3)^{2}=8^{2}-6^{2}$，$2012=4× 503=4× (252+251)× (252-251)=(2× 252)^{2}-(2× 251)^{2}=504^{2}-502^{2}$，说明28和2012符合神秘数条件,是神秘数.
(2)依题意,得$(2k+2)^{2}-(2k)^{2}=4(2k+1)$，神秘数的特点是4与一个奇数的积.
(3)设$k$是正整数,于是$(2k+1)^{2}-(2k-1)^{2}=4(2k)$,是4与一个偶数的积,与
(2)中结论作比较,显然不能用两个连续偶数的平方差表示,不符合神秘数的条件,不是神秘数.

6. 设 $ a_{1} = \sqrt{1 + \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}}} $,$ a_{2} = \sqrt{1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}}} $,$ a_{3} = \sqrt{1 + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}}} $,……
(1)观察式子,根据你自己发现的规律写出第 $ n $ 个式子 $ a_{n} $ 的表达式：$a_{n}=\sqrt {1+\frac {1}{n^{2}}+\frac {1}{(n+1)^{2}}}$。
(2)求出 $ a_{1} $,$ a_{2} $,$ a_{3} $ 的值,猜想 $ a_{n} $ 的结果。
$a_{1}=1\frac {1}{2}$，$a_{2}=1\frac {1}{6}$，$a_{3}=1\frac {1}{12}$，$a_{n}=1+\frac {1}{n(n+1)}$
(3)设 $ S_{n} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + … + a_{n} $,求 $ S_{2} $,$ S_{3} $ 的值,猜想 $ S_{n} $(用含 $ n $ 的表达式表示)。
$S_{2}=a_{1}+a_{2}=1\frac {1}{2}+1\frac {1}{6}=2\frac {2}{3}$，$S_{3}=a_{1}+a_{2}+a_{3}=1\frac {1}{2}+1\frac {1}{6}+1\frac {1}{12}=3\frac {3}{4}$，$S_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots +a_{n}=n+\frac {n}{n+1}$

答案： 6.
(1)$a_{n}=\sqrt {1+\frac {1}{n^{2}}+\frac {1}{(n+1)^{2}}}$.
(2)$a_{1}=1\frac {1}{2}$，$a_{2}=1\frac {1}{6}$，$a_{3}=1\frac {1}{12}$，$a_{n}=1+\frac {1}{n(n+1)}$.
(3)$S_{2}=a_{1}+a_{2}=1\frac {1}{2}+1\frac {1}{6}=2\frac {2}{3}$，$S_{3}=a_{1}+a_{2}+a_{3}=1\frac {1}{2}+1\frac {1}{6}+1\frac {1}{12}=3\frac {3}{4}$，$S_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots +a_{n}=n+\frac {n}{n+1}$.

7. (1)利用乘法公式化简：$ \left(1 - \frac{1}{2^{2}}\right)\left(1 - \frac{1}{3^{2}}\right)\left(1 - \frac{1}{4^{2}}\right)…\left(1 - \frac{1}{10^{2}}\right) $。
(2)根据(1)中的化简过程和结果,猜想下式的化简结果,并仿照(1)中方法验证。$ \left(1 - \frac{1}{n^{2}}\right)\left[1 - \frac{1}{(n + 1)^{2}}\right]\left[1 - \frac{1}{(n + 2)^{2}}…\right]\left[1 - \frac{1}{(n + k)^{2}}\right] $($ k $ 和 $ n $ 都是正整数)。

答案： 7.提示:利用公式$a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$化简.
(1)原式$=(1-\frac {1}{2})(1+\frac {1}{2})(1-\frac {1}{3})(1+\frac {1}{3})(1-\frac {1}{4})(1+\frac {1}{4})\cdots (1-\frac {1}{10})(1+\frac {1}{10})=\frac {1}{2}× \frac {3}{2}× \frac {2}{3}× \frac {4}{3}× \frac {3}{4}× \frac {5}{4}× \cdots × \frac {9}{10}× \frac {11}{10}=\frac {1}{2}× \frac {11}{10}=\frac {11}{20}$.
(2)$\frac {(n-1)(n+k+1)}{n(n+k)}$.仿照
(1)中方法可得原式$=\frac {n-1}{n}× \frac {n+1}{n}× \frac {n}{n+1}× \frac {n+2}{n+1}× \cdots × \frac {n+k-1}{n+k}× \frac {n+k+1}{n+k}=\frac {(n-1)(n+k+1)}{n(n+k)}$.