《2025年新课程学习指导八年级数学上册华师大版》

16. 已知$a = \sqrt{5} - 5$,$b = 5 - \sqrt{5}$,则下列结论错误的是…………………………【B】
A.$|a| = |b|$
B.$a = |b|$
C.$|a| = b$
D.$a + b = 0$

答案： B

17. 下列说法中,错误的是……$$【C】
A.$\sqrt{65}的小数部分是\sqrt{65} - 8$
B.若$\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} = 0$,则$a + b = 0$
C.数轴上的点都表示有理数
D.数轴上的点和实数一一对应

答案： C

18. 如果一个数的算术平方根是它的立方根的$2$倍,那么这个数是…………$$【C】
A.$8$
B.$\frac{1}{8}$
C.$64$
D.$\frac{1}{64}$

答案： C

19. (6 分)若$4x + 13的算术平方根是7$。
(1)求$x$的值。
(2)求$3x - 2$的平方根。

答案：
(1)
∵4x+13的算术平方根是7,
∴4x+13=49，解得x=9.
(2)当x=9时,3x-2=25.由于25的平方根是$\pm 5$,所以3x-2的平方根是$\pm 5$.

20. (6 分)阅读下面的运算过程：
(1)$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} × \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{(\sqrt{3})^2} = \frac{\sqrt{3}}{3}$；
(2)$\frac{1}{\sqrt[3]{6}} = \frac{(\sqrt[3]{6})^2}{\sqrt[3]{6} × (\sqrt[3]{6})^2} = \frac{(\sqrt[3]{6})^2}{(\sqrt[3]{6})^3} = \frac{(\sqrt[3]{6})^2}{6}$。
这里把分母中的根号化去的过程叫做“分母有理化”。
仿照上面的例子,把式子$\frac{1}{\sqrt{15}}和\frac{1}{\sqrt[3]{19}}$分母有理化。

答案： $\frac{1}{\sqrt{15}}=\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}× \sqrt{15}}=\frac{\sqrt{15}}{(\sqrt{15})^{2}}=\frac{\sqrt{15}}{15}$;$\frac{1}{\sqrt[3]{19}}=\frac{(\sqrt[3]{19})^{2}}{\sqrt[3]{19}× (\sqrt[3]{19})^{2}}=\frac{(\sqrt[3]{19})^{2}}{(\sqrt[3]{19})^{3}}=\frac{(\sqrt[3]{19})^{2}}{19}$.

21. (12 分)求下列各式中$x$的值。
(1)(3 分)$9x^2 - 25 = 0$。
(2)(3 分)$\sqrt{4x - 3} = \sqrt{1 + 3x}$。
(3)(3 分)$2(x + 1)^2 = 8$。
(4)(3 分)$\sqrt[3]{2x + 1} = -\sqrt[3]{5 + x}$。

答案： $(1)$ 求解$9x^{2}-25 = 0$
解：
首先对$9x^{2}-25 = 0$进行移项，得到$9x^{2}=25$。
然后两边同时除以$9$，即$x^{2}=\frac{25}{9}$。
根据平方根的定义，若$x^{2}=a(a\geq0)$，则$x = \pm\sqrt{a}$，所以$x=\pm\sqrt{\frac{25}{9}}$，解得$x=\pm\frac{5}{3}$。
$(2)$ 求解$\sqrt{4x - 3}=\sqrt{1 + 3x}$
解：
因为等式两边都是算术平方根，根据算术平方根的性质，若$\sqrt{a}=\sqrt{b}$（$a\geq0,b\geq0$），则$a = b$。
所以$4x-3 = 1 + 3x$。
移项可得$4x-3x=1 + 3$。
解得$x = 4$。
$(3)$ 求解$2(x + 1)^{2}=8$
解：
首先两边同时除以$2$，得到$(x + 1)^{2}=4$。
根据平方根的定义，若$y^{2}=a(a\geq0)$，则$y=\pm\sqrt{a}$，令$y=x + 1$，$a = 4$，则$x + 1=\pm\sqrt{4}=\pm2$。
当$x + 1=2$时，解得$x=2 - 1=1$；
当$x + 1=-2$时，解得$x=-2 - 1=-3$。
所以$x = 1$或$x=-3$。
$(4)$ 求解$\sqrt[3]{2x + 1}=-\sqrt[3]{5 + x}$
解：
根据立方根的性质，若$\sqrt[3]{a}=-\sqrt[3]{b}$，则$a=-b$。
所以$2x + 1=-(5 + x)$。
去括号得$2x + 1=-5 - x$。
移项可得$2x+x=-5 - 1$。
合并同类项得$3x=-6$。
两边同时除以$3$，解得$x=-2$。
综上，答案依次为：$(1)$$\boldsymbol{x=\pm\frac{5}{3}}$；$(2)$$\boldsymbol{x = 4}$；$(3)$$\boldsymbol{x = 1}$或$\boldsymbol{x=-3}$；$(4)$$\boldsymbol{x=-2}$。